Ранг (лінійна алгебра)

Ранг матриці — порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними).

Ранг системи векторів — найбільше число лінійно-незалежних векторів з цієї системи.

Зазвичай ранг матриці $A$ позначається $\operatorname{rang}A$ ( $\operatorname{rg}A$ ) чи $\operatorname{rank}A$ .

Ранг матриці не міняється при елементарних перетвореннях матриці (перестановці рядків або стовпців, множенні рядка або стовпця на відмінне від нуля число і при складанні рядків або стовпців).

Теорема про базисний мінор: Рядки ненульової матриці на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Теорема про ранг матриці: Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцям збігається з рангом по рядкам.

Теорема Кронекера-Капеллі: Система лінійних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, не змінюється при додаванні до неї стовпця вільних членів (розширена матриця). Цей розв'язок єдиний, якщо цей ранг матриці дорівнює кількості невідомих.

Ранг $\ r$ матриці розмірності $\ m \times n$ називають повним, якщо $\ r = \min(m, n)$ .

Система векторів має повний ранг вектори лінійно незалежні.

Обчислення рангу матриці [ред.]

Основними методами обчислення рангу матриці є методи оточення мінорів (теоретичний) і метод елементарних перетворень (практичний).

Метод оточення мінорів полягає в тому, що в ненульовій матриці шукається довільний базисний мінор.

Метод елементарних перетворень полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень знаходиться деяка максимальна лінійно незалежна система рядків матриці. Можливо із зведенням матриці до трикутного вигляду (метод Гауса).

Властивості [ред.]

Тільки нульова матриця має нульвий ранг.
$\operatorname{rank}(A) \leq \min(m, n).$
$\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}\ A, \operatorname{rank}\ B).$