Двійковий логарифм: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії

[неперевірена версія]

Наступне редагування →

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Лінійно

Версія за 19:02, 8 грудня 2016

В математиці, двійковий логарифм ( $log 2 n$ ) це степінь, до якої треба піднести число $2$ , щоб отримати значення $n$ . І це, для будь-якого дісного числа $x$ ,

x=\log _{2}n\quad \Longleftrightarrow \quad 2^{x}=n.

Наприклад, бінарний логарифм числа $1$ є $0$ , бінарний логарифм від $2$ є $1$ , бінарний логарифм від $4$ дорівнює $2$ , а бінарний логарифм від $32$ це $5$ .

Бінарний логарифм це логарифм за основою $2$ . Функція бінарного логарифму є є оберненою функцією функції степені двійки. Разом із звичайним позначенням $log 2$ , існують альтернативні позначення бінарного логарифму такі як: $lg$ , $ld$ , $lb$ , і (із попереднім узгодженням, що за замовчанням що основою логарифму є 2) $log$ .

Історично, перше застосування двійковий логарифм знайшо в теорії музики, його використав Леонард Ейлер: двійковий логарифм відношення частот двох музичних тонів дає розрахувати кількість октав, на які відрізняються ці тони. Двійковий логарифм можна застосувати для розрахунку довжини представлення числа в двійковій системі числення, або кількість біт, необхідних аби закодувати повідомлення в теорії інформації. В комп’ютерних науках, вони використовуються для підрахунку кількості кроків, які треба здійснити при двійковому пошуку і подібних алгоритмах. Інші області в яких часто використовується двійковий логарифм включають в себе: комбінаторику, біоінформатику, планування спортивних турнірів, і фотографію.

Бінарні логарифми включено до стандартних матемитичних функцій мови програмування C і до інших математичних програмних пакетів. Цілу частину двійкового логарифму можна знайти да допомогою виконання операції find first set над цілим числом, або шляхом пошуку експоненти значення з рухомою комою.

Визначення і властивості

Функцію двійкового логарифму можна визначити як обернену функцію функції степені двійки, що є строго зростаючою функцією в області додатніх дійсних чисел і таким чином має одну єдину зворотню функцію.^[1] Альтернативним шляхом, її можна визначити як $ln n /ln 2$ , де $ln$ є натуральним логарифмом, визначений одним із своїх стандартних способів. Використання комплексного логарифму в такому визначення дозволяє розширити застосування двійкового логарифму для Комплексних чисел.^[2]

Як і для інших логарифмів, двійковий логарифм задовольняє наступним рівнянням, які можуть використовуватись для спрощення формул, які поєднують двійкові логарифми із множенням або зведенням в ступінь:^[3]

\log _{2}xy=\log _{2}x+\log _{2}y

\log _{2}{\frac {x}{y}}=\log _{2}x-\log _{2}y

\log _{2}x^{y}=y\log _{2}x.

Примітки

↑ Batschelet, E. (2012), Introduction to Mathematics for Life Scientists, Springer, с. 128, ISBN 978-3-642-96080-2.
↑ Наприклад, Microsoft Excel надає функцію IMLOG2 для комплексних двійкових логарифмів: див. Bourg, David M. (2006), Excel Scientific and Engineering Cookbook, O'Reilly Media, с. 232, ISBN 978-0-596-55317-3.
↑ Kolman, Bernard; Shapiro, Arnold (1982), 11.4 Properties of Logarithms, Algebra for College Students, Academic Press, с. 334—335, ISBN 978-1-4832-7121-7.

Посилання

Weisstein, Eric W. Binary Logarithm(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Anderson, Sean Eron (12 грудня 2003), Find the log base 2 of an N-bit integer in O(lg(N)) operations, Bit Twiddling Hacks, Stanford University, процитовано 25 листопада 2015
Feynman and the Connection Machine

[1] Batschelet, E. (2012), Introduction to Mathematics for Life Scientists, Springer, с. 128, ISBN 978-3-642-96080-2.

[2] Наприклад, Microsoft Excel надає функцію IMLOG2 для комплексних двійкових логарифмів: див. Bourg, David M. (2006), Excel Scientific and Engineering Cookbook, O'Reilly Media, с. 232, ISBN 978-0-596-55317-3.

[3] Kolman, Bernard; Shapiro, Arnold (1982), 11.4 Properties of Logarithms, Algebra for College Students, Academic Press, с. 334—335, ISBN 978-1-4832-7121-7.

[1]

[2]

[3]

@@ Рядок 11: / Рядок 11: @@
 Бінарні логарифми включено до стандартних [[math.h|матемитичних функцій мови програмування C]] і до інших математичних програмних пакетів.
 Цілу частину двійкового логарифму можна знайти да допомогою виконання операції [[find first set]] над цілим числом, або шляхом пошуку експоненти значення [[Число з рухомою комою|з рухомою комою]].
+==Визначення і властивості==
+Функцію двійкового логарифму можна визначити як [[Обернена функція|обернену функцію]] функції [[Степені 2|степені двійки]], що є строго зростаючою функцією в області додатніх [[real number|дійсних чисел]] і таким чином має одну єдину зворотню функцію.<ref>{{citation|title=Introduction to Mathematics for Life Scientists|publisher=Springer|year=2012|first=E.|last=Batschelet|isbn=978-3-642-96080-2|url=https://books.google.com/books?id=vbT0CAAAQBAJ&pg=PA128|page=128}}.</ref>
+Альтернативним шляхом, її можна визначити як {{math|ln ''n''/ln 2}}, де {{math|ln}} є [[Натуральний логарифм|натуральним логарифмом]], визначений одним із своїх стандартних способів. Використання [[complex logarithm|комплексного логарифму]] в такому визначення дозволяє розширити застосування двійкового логарифму для [[Комплексне число|Комплексних чисел]].<ref>Наприклад, [[Microsoft Excel]] надає функцію <code>IMLOG2</code> для комплексних двійкових логарифмів: див. {{citation|title=Excel Scientific and Engineering Cookbook|first=David M.|last=Bourg|publisher=O'Reilly Media|year=2006|isbn=978-0-596-55317-3|page=232|url=https://books.google.com/books?id=uKctiVg2dyIC&pg=PT248}}.</ref>
+Як і для інших логарифмів, двійковий логарифм задовольняє наступним рівнянням, які можуть використовуватись для спрощення формул, які поєднують двійкові логарифми із множенням або зведенням в ступінь:<ref>{{citation|title=Algebra for College Students|first1=Bernard|last1=Kolman|first2=Arnold|last2=Shapiro|publisher=Academic Press|year=1982|isbn=978-1-4832-7121-7|url=https://books.google.com/books?id=i7vSBQAAQBAJ&pg=PA334|pages=334–335|contribution=11.4 Properties of Logarithms}}.</ref>
+:<math>\log_2 xy=\log_2 x + \log_2 y</math>
+:<math>\log_2\frac{x}{y}=\log_2 x - \log_2 y</math>
+:<math>\log_2 x^y = y\log_2 x.</math>
 ==Примітки==

Двійковий логарифм: відмінності між версіями

Версія за 19:02, 8 грудня 2016

Визначення і властивості

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Пошук