Анізотропна дифузія

В обробці зображень та комп'ютерному баченні, анізотропна дифузія, яка також називається  дифузією Перона–Маліка, є методом, який спрямований на зменшення шуму зображення , без видалення при цьому важливих частин вмісту зображення, як правило, краю, лінії або інших даних, які важливі для інтерпретації зображення. Анізотропна дифузія нагадує процес, який створюємасштабований простір, де зображення генерує параметризовану сім'ю все більш і більш розмитих зображень, заснованих на дифузійному процесі. Кожне з отриманих зображень в цій сім'ї подане як згортка між зображенням і 2D ізотропним фільтром Гауса, де ширина фільтра збільшується з параметром. Цей дифузійний процес є лінійним і просторово-інваріантним перетворенням вихідного зображення. Анізотропна дифузія є узагальненням цього дифузійного процесу: вона створює сімейство параметризованих зображень, але кожне отримане зображення являє собою поєднання вихідного зображення і фільтру, який залежить від початкового змісту вихідного зображення. Як наслідок, анізотропна дифузія є нелінійною і просторово-варіантною трансформацією вихідного зображення.

У своєму первісному формулюванні, яке представлене Пероном і Маліком в 1987 році, просторово-варіантний фільтр - це ізотропія, яка залежить від змісту зображення, так як вона наближається до імпульсної функції поблизу країв та інших структур, які повинні бути збережені в зображенні на різних рівнях в результаті масштабованого простору. Це формулювання називають анізотропною дифузією Перона і Маліка або ж неоднорідною і нелінійною дифузією . Більш загальне формулювання дозволяє адаптованих до місцевих умов фільтра щоб бути по-справжньому анізотропних об'єктів лінійної структури, такі як кромки або лінії: його орієнтація задається структура така, що вона витягнута вздовж конструкції і вузька у поперечнику. Такі методи називаються форми-адаптований згладжування або послідовності активації дифузії. як наслідок, отримані знімки зберігати лінійні структури і в той же час згладжування проводиться уздовж цих структур. Обидва випадки можуть бути описані узагальнення звичайного рівняння дифузії , де коефіцієнт дифузії, замість того, щоб бути постійним скаляром, є функція установки зображення і передбачається, що матриця (або тензор) значення (див. структура тензора).

Хоч отриману сім'ю знімків можна охарактеризувати як поєднання оригінального зображення і просторово-варіантних фільтрів, адаптований до початкових умов фільтр і його комбінація із зображенням не повинні бути реалізовані на практиці. Анізотропна дифузія зазвичай реалізовується за допомогою апроксимації узагальненого рівняння дифузії: кожне нове зображення в сім'ї обчислюється за допомогою  застосування  цього рівняння до попереднього зображення. Отже, анізотропна дифузія являє собою ітераційний процес, в якому відносно простий набір обчислень використовується для обчислення кожного наступного зображення в сім'ї і цей процес продовжується до отримання достатнього ступеня гладкості.

Формальне визначення

Формально, нехай ${\displaystyle }$ позначає підмножину площини і ${\displaystyle }$  - сім'я напівтонових зображень. Тоді анізотропна дифузія визначається як

${\displaystyle }$

де ${\displaystyle }$ позначає оператор Лапласа, ${\displaystyle }$ позначає градієнт, ${\displaystyle }$ це розбіжність оператора і ${\displaystyle }$ - коефіцієнт дифузії. ${\displaystyle }$ контролює швидкість дифузії і зазвичай вибирається як функція градієнта зображення, так як це зберігає краї зображення. П'єтро Перона і Джітендра Малік вперше представили ідею анізотропної дифузії в 1990 році і запропонували дві функції для коефіцієнта дифузії:

${\displaystyle }$

і

${\displaystyle }$

константа К  визначає чутливість до країв і, як правило, визначається експериментально або ж як функція шуму на зображенні.