Згортка (математичний аналіз)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Згортка двох квадратних імпульсів: результатом є імпульс трикутної форми. Одна з функцій (в даному випадку g) спочатку відображається черезз \tau=0 і тоді зсувається на t, результатом є g(t-\tau). Площа під кривою, що є добутком цих фунцій і є згорткою по t. Горизонтальна вісь це \tau для f і g, і t для f\ast g.
Згортка квадратного імпульсу (вхідний сигнал) з імпульсом відповіді в RC колі для отримання кривої вихідного сигналу. Інтеграл добутку — це площа жовтої ділянки.

Згорткою (англ. convolution) двох функцій  f(t) та  g(t) називають вираз

 (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) g(\tau) d\tau

Основною властивістю згортки є те, що фур'є-образ згортки пропорційний добутку фур'є-образів функцій.

Згортка на групах[ред.ред. код]

Нехай Gгрупа Лі, оснащена мірою Хаара m, і f,g:G \to \mathbb{R} — дві функції, визначенні на G. Тоді їх згорткою називається функція

f  * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G.

Приклад програми[ред.ред. код]

Нижче наведено приклад згортки, написаний на C++ :

/*
 * Розмір вихідної послідовності рівний M + N - 1 
 */
double * conv(double * x, int N, double * h, int M)
{
    double * result = new double[N + M - 1];
    memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));
 
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            result[i + j] += x[i] * h[j];
        }
    }
 
    return result;
}

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.