Згортка (математичний аналіз)

Згортка двох квадратних імпульсів: результатом є імпульс трикутної форми. Одна з функцій (в даному випадку g) спочатку відображається черезз $\tau=0$ і тоді зсувається на t, результатом є $g(t-\tau)$. Площа під кривою, що є добутком цих фунцій і є згорткою по t. Горизонтальна вісь це $\tau$ для f і g, і t для $f\ast g$.

Згортка квадратного імпульсу (вхідний сигнал) з імпульсом відповіді в RC колі для отримання кривої вихідного сигналу. Інтеграл добутку — це площа жовтої ділянки.

Згорткою (англ. convolution) двох функцій $f(t)$ та $g(t)$ називають вираз

$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) g(\tau) d\tau$

Основною властивістю згортки є те, що фур'є-образ згортки пропорційний добутку фур'є-образів функцій.

Згортка на групах

Нехай $G$ — група Лі, оснащена мірою Хаара $m$, і $f,g:G \to \mathbb{R}$ — дві функції, визначенні на $G$. Тоді їх згорткою називається функція

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$.

Приклад програми

Нижче наведено приклад згортки, написаний на C++ :

/*
 * Розмір вихідної послідовності рівний M + N - 1 
 */
double * conv(double * x, int N, double * h, int M)
{
    double * result = new double[N + M - 1];
    memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));
 
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            result[i + j] += x[i] * h[j];
        }
    }
 
    return result;
}

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.