Дивергенція (математика)

Диверге́нція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля немає, або вони зрівноважені. Таке поле називають соленоїдальним.

Визначення

Дивергенцією $\operatorname{div}\mathbf{F}$ векторного поля $\mathbf{F}$ в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню $S$, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

$\operatorname{div}\mathbf{F}=\lim_{V \to 0}\frac{\oint_{S}\mathbf{Fn}\,dS}{V}.$

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

$\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\nabla\mathbf{F},$

де $\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$ — оператор Гамільтона.

Властивості дивергенції

Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.

• Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полей $\mathbf{F}$, $\mathbf{G}$ та будь-яких чисел $a$, $b$ справедливий наступний вираз:

$\operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).$

• Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля $\varphi$ на векторне $\mathbf{F}$:

$\operatorname{div}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}(\varphi)\cdot\mathbf{F} + \varphi\,\operatorname{div}(\mathbf{F})$

• Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:

$\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}(\mathbf{G}).$

• Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:

$\operatorname{div}(\operatorname{grad}(\varphi))=\mathcal{4}\varphi.$

• Дивергенція ротора тотожньо дорівнює нулю:

$\operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.$

Див. також

• Дивергентна границя (в геології)

Джерела

• Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.