Дивергенція (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диверге́нція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатня дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля немає, або вони зрівноважені. Таке поле називають соленоїдальним.

Визначення[ред.ред. код]

Дивергенцією \operatorname{div}\mathbf{F} векторного поля \mathbf{F} в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню S, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

\operatorname{div}\mathbf{F}=\lim_{V \to 0}\frac{\oint_{S}\mathbf{Fn}\,dS}{V}.

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\nabla\mathbf{F},

де  \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)  — оператор Гамільтона.

Властивості дивергенції[ред.ред. код]

Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.

  • Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полей \mathbf{F}, \mathbf{G} та будь-яких чисел a, b справедливий наступний вираз:
\operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).
  • Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля \varphi на векторне \mathbf{F}:
\operatorname{div}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}(\varphi)\cdot\mathbf{F} 
+ \varphi\,\operatorname{div}(\mathbf{F})
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}(\mathbf{G}).
\operatorname{div}(\operatorname{grad}(\varphi))=\mathcal{4}\varphi.
  • Дивергенція ротора тотожньо дорівнює нулю:
\operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.