Ітерація

Ітера́ція (від лат. iteratio — повторювання) — багатозначний термін, який в залежності від контексту може означати:

• Повторне застосування математичної операції (із зміненими даними) при розв'язанні обчислювальних задач, яке дає можливість поступово наблизитися до правильного результату.
• Результат багаторазового повторення якоїсь математичної операції.

Застосування

Задача про нерухому точку

Ітерації застосовуються для розв'язування задачі

$x = Ax$,

де x — елемент певної множини, а A — оператор, що відображає множину саму в себе.

Ітераційна процедура розв'язку починається з довільно обраного елемента множини $x_0$. За цим елементом визначається наступна, перша ітерація

$x_1 = A x_0$.

Продовжуючи послідовно застосовувати оператор A, отримуємо для n-ої ітерації:

$x_n = Ax_{n-1} = A^n x_0$.

При виконанні певних умов така процедура збігається до певного елемента множини, який є розв'язком задачі.

Однак ітераційна процедура не завжди збіжна.

Фрактальні структури

Незбіжні ітеративні процедури використовуються для побудови та вивчення фракталів. Наприклад, множина Мандельброта утворюється при ітеруванні:

$z_{n+1}=z_n^2+c$,

де $z_0=0 \,$, $z_n$ та c — комплексні числа.

Програмування

В програмуванні розрізняють ітераційні та рекурсивні алгоритми. При ітераційному алгоритмі певна функція викликається послідовно, і при потребі її повторного застосування, викликається знову із новим аргументом. В рекурсивних алгоритмах використовуються вкладені виклики функції.

Див. також

• Рекурсія
• Ітератор
• Нерухома точка

Джерела

• Бевз Г.П. Довідник з математики. — К.: Радянська школа, 1981. — 262 с.

• Алан Шаллоуей, Джеймс Р. Тротт Шаблоны проектирования. Новый подход к объектно-ориентированному анализу и проектированию = Design Patterns Explained: A New Perspective on Object-Oriented Design. — М.: «Вильямс», 2002. — 288 с. — ISBN 0-201-71594-5