Еквівалентність рядків

У лінійній алгебрі дві матриці є еквівалентними рядками, якщо одна з них може бути замінена на іншу послідовність елементарних операцій із рядками . Як варіант, дві m × n матриці є еквівалентними рядками тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий простір рядків . Концепція найчастіше застосовується до матриць, які представляють системи лінійних рівнянь, і в цьому випадку дві матриці однакового розміру є еквівалентними рядками тоді і тільки тоді, коли відповідні однорідні системи мають однаковий набір розв’язків, або, еквівалентно, матриці мають однаковий нуль простір .

Оскільки елементарні операції з рядками є оборотними, еквівалентність рядків є відношенням еквівалентності. Його зазвичай позначають тильдою (~).

Існує подібне поняття еквівалентності стовпців, яке визначається елементарними операціями зі стовпцями; дві матриці є еквівалентними за стовпцями тоді і тільки тоді, коли їхні матриці транспонування є еквівалентними за рядками. Дві прямокутні матриці, які можна перетворити одну на іншу, дозволяючи як елементарні операції з рядками, так і зі стовпцями, називаються просто еквівалентними .

Елементарні операції з рядками

Елементарна операція рядка – це будь-який із наступних рухів:

1. Зміна місцями: поміняти місцями два рядки матриці.
2. Масштаб: помножити рядок матриці на ненульову константу.
3. Повороти: додайте кратне число одного рядка матриці до іншого рядка.

Дві матриці A і B є рядковими еквівалентами, якщо можна перетворити матрицю A в матрицю B за допомогою послідовності елементарних операцій над рядками.

Простір рядка

Простір рядків матриці - це множина всіх можливих лінійних комбінацій її векторів-рядків. Якщо рядки матриці являють собою систему лінійних рівнянь, то простір рядків складається з усіх лінійних рівнянь, які можна алгебраїчно вивести з рівнянь системи. Дві м × n матриці є еквівалентними рядками тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий простір рядків.

Наприклад, матриці

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{та}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}$

є еквівалентними рядками, простір рядка — це всі вектори форми ${\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}$ . Відповідні системи однорідних рівнянь передають однакову інформацію:

${\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{та}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}$

Зокрема, обидві ці системи передбачають кожне рівняння виду $ax+by+bz=0.\,$

Еквівалентність визначень

Важливою теоремою лінійної алгебри є той факт, що дві матриці є еквівалентними рядками тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий простір рядків. Доказ базується на таких спостереженнях:

1. Елементарні операції з рядками не впливають на простір рядків матриці. Зокрема, будь-які дві еквівалентні матриці рядків мають однаковий простір рядків.
2. Будь-яку матрицю можна звести елементарними операціями з рядками до матриці у скороченій формі рядків .
3. Дві матриці у скороченій формі рядків мають однаковий простір рядків тоді і тільки тоді, коли вони рівні.

Ця лінія міркувань також доводить, що кожна матриця є рядком, еквівалентним унікальній матриці зі скороченою формою ешелону рядка.

Додаткові властивості

• Оскільки нульовий простір матриці є ортогональним доповненням простору рядків, дві матриці є еквівалентними рядками тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий нульовий простір.
• Ранг матриці дорівнює розмірності простору рядків, тому еквівалентні матриці рядків повинні мати однаковий ранг. Це дорівнює кількості поворотів у формі ешелону скороченого ряду.
• Матриця є оборотною тоді і тільки тоді, коли вона є рядком, еквівалентним одиничній матриці .
• Матриці A і B є рядковими еквівалентами тоді і тільки тоді, коли існує оборотна матриця P така, що A=PB.

Дивись також

• Елементарні операції з рядками
• Простір рядка
• Базис (лінійна алгебра)
• Скорочення рядків
• (Зменшена) рядова ешелонна форма

Список літератури

1. Лей 2005, стр. 21, Приклад 4
2. Роман 2008, стр. 9, Приклад 0.3

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (вид. 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 серпня 2005), Linear Algebra and Its Applications (вид. 3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 лютого 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архів оригіналу за 1 березня 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (вид. 2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (вид. 9th), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (вид. 7th), Pearson Prentice Hall
• Roman, Steven (2008). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Т. 135 (вид. 3rd). Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.