Інтегральна формула Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять диференційовності та регулярності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Теорема[ред.ред. код]

Нехай функція f(z)\, диференційовна в області D\,. Якщо скінченна область G\, разом зі своєю межею C=\partial G\, в області D\,, а \xi \in G\,, то

\oint_{C} \frac {f(z)dz}{z-\xi}=2\pi i f(\xi).

Доведення[ред.ред. код]

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при z=\xi. Тому функція \varphi (z)=\frac {f(z)dz}{z-\xi} диференційовна в усіх точках області D\, за винятаком точки z=\xi. Візьмемо \varrho > 0 настільки малим, щоб круг |z-\xi| \le \varrho належав області G\,, і позначимо через D'\, область D\,, з якої видалено точку \xi, а через G_\rho\, область G\,, з якої видалено круг |z-\xi| \le \varrho.

Функція \varphi (z) диференційовна в області D'\,, і область G_\rho\, лежить в області D'\, разом зі своєю межею (позначимо її через C_\rho\,). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по C_\rho\, від f(z)\, дорівнює нулю. Проте C_\rho\, складається з С та кола \Gamma_\varrho: |z-\xi| = \varrho \,. Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому G_\rho\, залишається зліва, а круг |z-\xi| < \varrho — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

\oint_{C} \varphi (z)dz=\oint_{\Gamma_\varrho} \varphi (z)dz

Інтеграл зліва не залежить від \varrho. Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення \varrho можна обирати довільно. Отже:

\oint_{\Gamma_\varrho} \varphi (z)dz = \oint_{\Gamma_\varrho} \frac {f(z)dz}{z-\xi}=f(\xi)\oint_{\Gamma_\varrho} \frac {dz}{z-\xi} + \oint_{\Gamma_\varrho} \frac {f(z)-f(\xi)}{z-\xi}dz=f(\xi)I_1 + I_2

Підінтегральний вираз в I_2 обмежений при z \to \xi: він прямує до f'(\xi)\,. Так як довжина \Gamma_\varrho дорівнює 2\pi\varrho, а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то I_2 \to 0 \quad (\varrho \to 0). Інтеграл I_1 обчислюиться при переході до параметричного запису рівняння кола \Gamma_\varrho: z=\xi+\varrho e^{i \theta}, 0 \le \theta \le 2\pi:

\oint_{\Gamma_\varrho} \frac {dz}{z-\xi}=\int_{0}^{2\pi} \frac {i \varrho e^{i \theta}d\theta}{\varrho e^{i \theta}} = 2\pi i

Отже,

\oint_{C} \varphi (z)dz=2\pi i f(\xi) + o(1) \qquad (\varrho \to 0)

Оскільки ліва частина рівності не залежить від \varrho, то теорему доведено.

Наслідки[ред.ред. код]

Оскільки це центральна формула всього комлексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

  • Поняття диференційовності та регулярності еквівалентні;
  • Якщо функція f(z) має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки z=a, то коефіційєнти ряду визначаються формулою:
C_n=\frac {1}{2\pi i} \oint_{|z-a|=r} \frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}},
де r — довільне додатнє дійсне число;
  • Якщо функція f(z) має похідні до n-ого порядку включно у точці z=a, то вони визначаються за формулою
f^{(n)} (a)=\frac {n!}{2\pi i} \oint_{C} \frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}
Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;
\int_{a}^{b} f(z)dz=F(b)-F(a),
де F(z)первісна для f(z). Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад[ред.ред. код]

Для функції

g(z)=\frac {1-\sin z}{z^2 (z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)}

обчислити значення інтегралу для контура C: |z|=4

Розв’язання[ред.ред. код]

Функція g(z) має три особливі точки: z_0=0, \quad z_1=\frac {\pi}{2}, \quad z_2=-\pi.

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

\oint_{C} \frac {1-\sin z}{z^2 (z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)} dz = \oint_{|z|=\varrho} \frac {\frac{1-\sin z}{(z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)}}{z^2}dz+\oint_{|z|=\rho} \frac {\frac{1-\sin z}{z^2(z+\pi)}}{z-\frac {\pi}{2}}dz+\oint_{|z|=r} \frac {\frac{1-\sin z}{z^2(z-\frac {\pi}{2})}}{z+\pi}dz

Числа \varrho, \rho, r можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

\oint_{C} \frac {1-\sin z}{z^2 (z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)} dz = 2\pi i \left (-\frac {(z_0-\frac {\pi}{2})(z_0+\pi) \cos z_0+(1-\sin z_0) \left (2z_0+\frac {\pi}{2} \right)}{(z_0+\pi)^2 \left(z_0+\frac{\pi}{2}\right)^2}+\frac{1-\sin z_1}{z_1^2(z_1+\pi)}+\frac{1-\sin z_2}{z_2^2(z_2-\frac {\pi}{2})} \right)=
=2\pi i \left (\frac {2}{\pi^2}-\frac{2}{\pi^3}+0-\frac{2}{3 \pi^3} \right )=\frac {4i}{3\pi^2}(3\pi-4)

Джерела[ред.ред. код]

  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.