Інтегральна формула Коші

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять диференційовності та регулярності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Теорема

Нехай функція $f(z)\,$ диференційовна в області $D\,$. Якщо скінченна область $G\,$ разом зі своєю межею $C=\partial G\,$ в області $D\,$, а $\xi \in G\,$, то

$\oint_{C} \frac {f(z)dz}{z-\xi}=2\pi i f(\xi)$.

Доведення

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при $z=\xi$. Тому функція $\varphi (z)=\frac {f(z)dz}{z-\xi}$ диференційовна в усіх точках області $D\,$ за винятаком точки $z=\xi$. Візьмемо $\varrho > 0$ настільки малим, щоб круг $|z-\xi| \le \varrho$ належав області $G\,$, і позначимо через $D'\,$ область $D\,$, з якої видалено точку $\xi$, а через $G_\rho\,$ область $G\,$, з якої видалено круг $|z-\xi| \le \varrho$.

Функція $\varphi (z)$ диференційовна в області $D'\,$, і область $G_\rho\,$ лежить в області $D'\,$ разом зі своєю межею (позначимо її через $C_\rho\,$). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по $C_\rho\,$ від $f(z)\,$ дорівнює нулю. Проте $C_\rho\,$ складається з С та кола $\Gamma_\varrho: |z-\xi| = \varrho \,$. Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому $G_\rho\,$ залишається зліва, а круг $|z-\xi| < \varrho$ — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

$\oint_{C} \varphi (z)dz=\oint_{\Gamma_\varrho} \varphi (z)dz$

Інтеграл зліва не залежить від $\varrho$. Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення $\varrho$ можна обирати довільно. Отже:

$\oint_{\Gamma_\varrho} \varphi (z)dz = \oint_{\Gamma_\varrho} \frac {f(z)dz}{z-\xi}=f(\xi)\oint_{\Gamma_\varrho} \frac {dz}{z-\xi} + \oint_{\Gamma_\varrho} \frac {f(z)-f(\xi)}{z-\xi}dz=f(\xi)I_1 + I_2$

Підінтегральний вираз в $I_2$ обмежений при $z \to \xi$: він прямує до $f'(\xi)\,$. Так як довжина $\Gamma_\varrho$ дорівнює $2\pi\varrho$, а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то $I_2 \to 0 \quad (\varrho \to 0)$. Інтеграл $I_1$ обчислюиться при переході до параметричного запису рівняння кола $\Gamma_\varrho: z=\xi+\varrho e^{i \theta}, 0 \le \theta \le 2\pi$:

$\oint_{\Gamma_\varrho} \frac {dz}{z-\xi}=\int_{0}^{2\pi} \frac {i \varrho e^{i \theta}d\theta}{\varrho e^{i \theta}} = 2\pi i$

Отже,

$\oint_{C} \varphi (z)dz=2\pi i f(\xi) + o(1) \qquad (\varrho \to 0)$

Оскільки ліва частина рівності не залтжить від $\varrho$, то теорему доведено.

Наслідки

Оскільки це центральна формула всього комлексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

• Поняття диференційовності та регулярності еквівалентні;
• Якщо функція $f(z)$ має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки $z=a$, то коефіційєнти ряду визначаються формулою:

$C_n=\frac {1}{2\pi i} \oint_{|z-a|=r} \frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}},$

де r — довільне додатнє дійсне число;

• Якщо функція $f(z)$ має похідні до n-ого порядку включно у точці $z=a$, то вони визначаються за формулою

$f^{(n)} (a)=\frac {n!}{2\pi i} \oint_{C} \frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}$

Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;

• Для комплесних інтегралів справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

$\int_{a}^{b} f(z)dz=F(b)-F(a),$

де $F(z)$ — первісна для $f(z)$. Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад

Для функції

$g(z)=\frac {1-\sin z}{z^2 (z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)}$

обчислити значення інтегралу для контура $C: |z|=4$

Розв’язання

Функція $g(z)$ має три особливі точки: $z_0=0, \quad z_1=\frac {\pi}{2}, \quad z_2=-\pi$.

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

$\oint_{C} \frac {1-\sin z}{z^2 (z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)} dz = \oint_{|z|=\varrho} \frac {\frac{1-\sin z}{(z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)}}{z^2}dz+\oint_{|z|=\rho} \frac {\frac{1-\sin z}{z^2(z+\pi)}}{z-\frac {\pi}{2}}dz+\oint_{|z|=r} \frac {\frac{1-\sin z}{z^2(z-\frac {\pi}{2})}}{z+\pi}dz$

Числа $\varrho, \rho, r$ можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

$\oint_{C} \frac {1-\sin z}{z^2 (z-\frac {\pi}{2})(z+\pi)} dz = 2\pi i \left (-\frac {(z_0-\frac {\pi}{2})(z_0+\pi) \cos z_0+(1-\sin z_0) \left (2z_0+\frac {\pi}{2} \right)}{(z_0+\pi)^2 \left(z_0+\frac{\pi}{2}\right)^2}+\frac{1-\sin z_1}{z_1^2(z_1+\pi)}+\frac{1-\sin z_2}{z_2^2(z_2-\frac {\pi}{2})} \right)=$

$=2\pi i \left (\frac {2}{\pi^2}-\frac{2}{\pi^3}+0-\frac{2}{3 \pi^3} \right )=\frac {4i}{3\pi^2}(3\pi-4)$

Джерела

• Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.