Багатозначна функція

Функція від елемента «3» набуває двох значень

Багатозна́чна фу́нкція або багатозна́чне відобра́ження — узагальнення поняття функції, що допускає наявність декількох значень функції для одного аргументу.

Визначення

Функція $F$, яка кожному елементу множини $X$ ставить у відповідність деяку підмножину множини $Y,$ називається багатозначною функцією, якщо хоча б для одного $x\in X$ значення $F(x)$ містить більше одного елемента $Y.$

Звичайні (однозначні) функції можна розглядати як окремий випадок багатозначних, у яких значення складається рівно з одного елемента.

Приклади

Найпростіший приклад — двозначна функція квадратного кореня з додатного числа, у неї два значення, що розрізняються знаком. Наприклад, квадратний корінь з 16 має два значення — $+4$ і $-4.$

Інший приклад — обернені тригонометричні функції (наприклад, арксинус) — оскільки значення прямих тригонометричних функцій повторюються з періодом $2\pi$ або $\pi ,$ то значення обернених функцій багатозначні («нескінченнозначні»), всі вони мають вигляд $\varphi +2k\pi$ або $\varphi +k\pi ,$ де $k$ — довільне ціле число.

Багатозначні функції незручно використовувати у формулах, тому з їх значень нерідко виділяють одне, яке називають головним. Для квадратного кореня це додатне значення, для арксинуса — значення, що потрапляє в інтервал $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ тощо.

Первісну функцію (невизначений інтеграл) також можна розглядати як нескінченнозначну функцію, оскільки вона визначена з точністю до сталої інтегрування.

У комплексному аналізі та алгебрі

Характерний приклад багатозначних функцій — деякі аналітичні функції в комплексному аналізі. Неоднозначність виникає при аналітичному продовженні за різними шляхами. Також часто багатозначні функції виходять як результат взяття обернених функцій.

Наприклад, корінь n-го степеня з будь-якого ненульового комплексного числа набуває рівно $n$ значень. У комплексного логарифма число значень нескінченне, одне з них оголошено головним.

У комплексному аналізі поняття багатозначної функції тісно пов'язане з поняттям ріманової поверхні — поверхні в багатовимірному комплексному просторі, на якій дана функція стає однозначною.

Див. також

• Багатозначне відображення

Література

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М. : Наука, 1972.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М. : Наука, 1969. — 577 с.