Аксіома Плейфера

Початкова умова аксіоми Плейфера: пряма і точка поза прямою

Логічний наслідок аксіоми Плейфера: друга пряма, паралельна першій і проходить через точку

Аксіома Плейфера — це аксіома, яку можна використати замість п'ятого постулату Евкліда (аксіоми паралельності):

Якщо дано пряму на площині і точку поза цією прямою, через точку можна провести щонайбільше одну пряму, паралельну даній прямій.

Аксіома Плейфера еквівалентна аксіомі паралельності Евкліда в контексті евклідової геометрії. Аксіому названо ім'ям шотландського математика Джона Плейфера. Фраза «щонайбільше одну», це все, що потрібно, оскільки з інших аксіом можна довести, що хоча б одна пряма існує. Твердження часто записують у вигляді, що «існує одна й лише одна паралельна». У «Началах» Евкліда дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються й інших описів паралельних прямих не використовується.

Аксіома використовується не тільки в евклідовій геометрії, але також і в афінній геометрії, в якій поняття паралельності є центральним. В умовах афінної геометрії потрібна сильніша форма аксіоми Плейфера (в якій «щонайбільше» замінено на «одна й лише одна»), оскільки аксіоми нейтральної геометрії не дають доведення існування. Версія Плейфера аксіоми стала настільки популярною, що про неї кажуть як про аксіому паралельності Евкліда, хоча вона не є евклідовою версією аксіоми. Із аксіом випливає, що бінарне відношення паралельності прямих є серійним відношенням.

Історія

Прокл (410—485) ясно дає твердження аксіоми в коментарях до книги Евкліда I. 31 (Книга I, Твердження 31).

1785 року Вільям Ладлем висловив аксіому паралельності таким чином:

Дві прямі, що перетинаються в точці, не можуть бути паралельними третій прямій.

Це короткий вислів евклідової паралельності запозичив Плейфер у своїй книзі Elements of Geometry (Елементи геометрії, 1795), яку часто передруковували. Він писав:

Дві прямі, що перетинаються, не можуть бути обидві паралельні одній і тій самій третій прямій.

Плейфер дякував Ладлему та іншим за спрощення твердження Евкліда. Надалі точка перетину двох прямих вийшла на перше місце і заперечення двох паралельних перетворилося в єдиність паралельних, що проходять через дану точку.

1883 року Артур Кейлі, президент Британської Асоціації, у своєму зверненні до Асоціації висловив таку думку:

З моєї точки зору дванадцята аксіома Евкліда у формі Плейфера не потребує доведення, а є частиною нашого уявлення про простір, фізичний простір нашого досвіду, яке є відбиває те, що лежить в основі нашого життєвого досвіду.

Коли Давид Гільберт написав свою книгу «Основи геометрії» (1899), подаючи новий набір аксіом евклідової геометрії, він використовував при обговоренні паралельних прямих аксіому у формі Плейфера, а не оригінальну версію Евкліда.

Зв'язок з п'ятим постулатом Евкліда

Якщо сума внутрішніх кутів α і β менша від 180°, дві прямі, продовжені до нескінченності, перетинаються з цього боку.

Аксіома паралельності Евкліда стверджує:

Якщо відрізок перетинає дві прямі, утворюючи два внутрішніх кути з одного боку, що дають у сумі менше двох прямих кутів, то дві прямі, продовжені до нескінченності, перетинаються з того боку, де сума кутів менша від двох прямих кутів.

Складність цього твердження, порівняно з формулюванням Плейфера, ясно показує причину популярності аксіоми Плейфера під час обговорення аксіоми паралельності.

В контексті абсолютної геометрії два твердження еквівалентні, що означає, що одне твердження можна довести на підставі іншого за наявності інших аксіом геометрії. Твердження не є логічно еквівалентними (що означало б, що одне можна довести з іншого тільки за допомогою формальних логічних висновків), оскільки, наприклад, у сферичній моделі еліптичної геометрії одне твердження істинне, а інше — хибне. Логічно еквівалентне твердження істинне у всіх моделях, в яких воно інтерпретується.

Доведення нижче припускають, що всі аксіоми абсолютної (нейтральної) геометрії виконуються.

З п'ятого постулату Евкліда випливає аксіома Плейфера

Найпростіший спосіб показати це — використовувати теорему Евкліда (еквівалентна п'ятому постулату), яка стверджує, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Якщо дано пряму $\ell$ і точку P поза нею, будуємо пряму t, перпендикулярну до даної прямої, що проходить через точку P, а потім перпендикуляр до цього перпендикуляру через точку P. Ця пряма паралельна прямій $\ell$, оскільки вона не може перетнутися з прямою $\ell$ і утворити трикутник, про що йдеться у твердженні 27 книги 1 у «Началах» Евкліда. Тепер видно, що ніякої іншої паралельної не існує. Якби n була другою паралельною прямою через точку P, то n утворила б із прямою t гострий кут (оскільки вона не перпендикулярна), а при припущенні істинності гіпотези про п'ятий постулат n перетиналося б з $\ell$.

З аксіоми Плейфера випливає п'ятий постулат Евкліда

Якщо з постулату Плейфера випливає, що перпендикуляр до перпендикуляра паралельний початковій прямий, прямі з побудови Евкліда повинні перетинатися. Слід довести, що вони будуть перетинатися з того боку, де сума кутів менша від двох прямих кутів, але це доведення істотно складніше.

Транзитивність паралельності

Твердження 30 Евкліда говорить: «Дві прямі, кожна з яких паралельна третій прямій, паралельні». Де Морган помітив, що це твердження логічно еквівалентне аксіомі Плейфера. Це зауваження повторив Т. Л. Гіт 1908 року. Аргументація де Моргана така: нехай X — множина різних пар перетинних прямих, а Y — множина різних пар прямих, паралельних одній спільній прямій. Якщо z є пара різних прямих, то твердження,

Для всіх z, якщо z міститься в X, то z не міститься в Y,

є аксіомою Плейфера (в термінах де Моргана, Ніякий X не є Y) і їй логічно еквівалентне протиставлення,

Для всіх z, якщо z лежить в Y то z не лежить в X,

є твердженням Евкліда I. 30 про транзитивність паралельності (Ніякий Y не є X).

2011 року імплікацію перефразовано в термінах бінарного відношення паралельності прямих: в афінній геометрії відношення вважається відношенням еквівалентності, що означає, що пряма приймається паралельної собі. Енді Лю написав: «Нехай P — точка, що не лежить на прямій 2. Припустимо, що як пряма 1, так і пряма 3 проходять через P та паралельні прямій 2. Згідно з транзитивністю вони паралельні одна одній, а тому не можуть мати спільної точки P. Звідси випливає, що це одна й та сама пряма, що є аксіомою Плейфера.»

Література

• Augustus De Morgan. Supplementary Remarks on the first six Books of Euclid's Elements // Companion to the Almanac. — 1849. — 30 квітня.
• William Ludlam. The Rudiments of Mathematics. — Cambridge, 1785. — С. 145.
• William Barrett Frankland. Theories of Parallelism: A Historic Critique. — Cambridge University Press, 1910. — С. 31.
• John Playfair. Elements of Geometry. — W. E. Dean, 1846.
• David W. Henderson, Daina Taimiņa. Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History. — 3rd. — Upper Saddle River, NJ : Pearson Prentice Hall, 2005. — С. 139. — ISBN 0-13-143748-8.
• George Phillips. Elements of Geometry (містить перші шість книг Евкліда). — 1826. — С. 3.
• Howard Eves. A Survey of Geometry (Volume One). — Boston : Allyn and Bacon, 1963.
• Marvin Jay Greenberg. Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History. — San Francisco : W.H. Freeman, 1974. — ISBN 0-7167-0454-4.
• Гильберт Д. Основания геометрии. — Петроград : «Сеятель», 1923. — (Библиотека современной математики)
• Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1908] 2nd. — New York : Dover Publications, 1956. (3 тома.: ISBN 0-486-60088-2 том. 1, ISBN 0-486-60089-0 том. 2, ISBN 0-486-60090-4 том. 3.