Відрізок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Відрізок — частина прямої, обмежена двома точками.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо V\,\! векторний простір над \mathbb{R} або \mathbb{C}, і L\,\! це підмножина V,\,\! тоді L\,\! відрізок якщо L\,\! може бути заданий як


 L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}

для деякого вектора \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!, в такому випадку вектори \mathbf{u} та \mathbf{u+v} називаються кінцевими точками відрізка L.\,\!

Іноді нам потрібно розрізняти "відкриті" та "закриті" відрізки. Тоді закритий відрізок визначається як було вказано вище, а відкритий відрізок як підмножина L\,\!, параметризована як

 L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}

для деяких векторів \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!.

Альтернативне визначення таке: Відрізок (замкнутий) це опукла оболонка двох точок.

Відрізок числової прямої[ред.ред. код]

Відрізок числової (коордінатної) прямої (числовій відрізок, сегмент) — множина дійсних чисел x~, таких що задовільняють нерівності a \le x \le b, де заздалегідь завдані дійсні числа a~ і b~ (a<b)~ називаються кінцями (граничними точками) відрізка. На противагу до них, інші числа x~, що задовільняють нерівності a<x<b~, називаються внутрішніми точками відрізка.

Відрізок зазвичай позначається [a, b]:

[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}.

Відрізок являє собою замкнутий проміжком.

Число b-a\, називається довжиною числового відрізка [a, b].

Стяжна система сегментів[ред.ред. код]

Система сегментів — нескінченна послідовність елементів множини відрізків на числовій прямій \{[a, b] | a, b \in \R \land a < b\}.

Система сегментів позначається \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}. Мається на увазі, що кожному натуральному числу ~n співставлен у відповідність відрізок ~[a_n, b_n].

Система сегментів \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} називається стяжною, якщо

  • кожний наступний відрізок міститься в попередньому;
    \forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]
  • відповідна послідовність довжин відрізків нескінченно мала.
    \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0

В будь-якій стяжній системі сегментів існує єдіна точка, що належить всім сегментам системи.

\forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n]

Цей факт випливає з властивостей монотонної послідовності.

Див. також[ред.ред. код]