Відрізок

Відрізок — пряма обмежена двома точками.

Визначення

Якщо $V\,\!$ векторний простір над $\mathbb{R}$ або $\mathbb{C}$, і $L\,\!$ це підмножина $V,\,\!$ тоді $L\,\!$ відрізок якщо $L\,\!$ може бути завдний як

$L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}$

для деякого вектора $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!$, в такому випадку вектори $\mathbf{u}$ та $\mathbf{u+v}$ називаються кінцевими точками відрізка $L.\,\!$

Іноді нам потрібно розрізняти "відкриті" та "закриті" відрізки. Тоді закритий відрізок визначається як було вказано вище, а відкритий відрізок як підмножина $L\,\!$, параметризована як

$L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}$

для деяких векторів $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!$.

Альтернативне визначення таке: Відрізок (замкнутий) це опукла оболонка двох точок.

Відрізок числової прямої

Відрізок числової (коордінатної) прямої (числовій відрізок, сегмент) — множина дійсних чисел $x~$, таких що задовільняють нерівності $a \le x \le b$, де заздалегідь завдані дійсні числа $a~$ і $b~$ $(a<b)~$ називаються кінцями (граничними точками) відрізка. На противагу до них, інші числа $x~$, що задовільняють нерівності $a<x<b~$, називаються внутрішніми точками відрізка.

Відрізок зазвичай позначається $[a, b]$:

$[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}$.

Відрізок являє собою замкнутий проміжком.

Число $b-a\,$ називається довжиною числового відрізка $[a, b]$.

Стяжна система сегментів

Система сегментів — нескінченна послідовність елементів множини відрізків на числовій прямій $\{[a, b] | a, b \in \R \land a < b\}$.

Система сегментів позначається $\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}$. Мається на увазі, що кожному натуральному числу $~n$ співставлен у відповідність відрізок $~[a_n, b_n]$.

Система сегментів $\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}$ називається стяжною, якщо

• кожний наступний відрізок міститься в попередньому;

  $\forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$

• відповідна послідовність довжин відрізків нескінченно мала.

  $\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0$

В будь-якій стяжній системі сегментів існує єдіна точка, що належить всім сегментам системи.

$\forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n]$

Цей факт випливає з властивостей монотонної послідовності.

Див. також

У Вікіпедії є портал «Математика»

• пряма
• промінь
• Інтервал
• Напівінтервал
• Віддаль між двома точками