Пряма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пряма́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками. Основна властивість прямої: через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Алгебраїчне визначення[ред.ред. код]

Три графіки лініній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

ax + by + c = 0

де a\,, b\,, c\, — деякі числа, при чому a\, або b\, повинне бути відмінне від нуля.[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

y=kx+b.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

В n-вимірному просторі[ред.ред. код]

Нехай задано вектор k в n-вимірному Евклідовому просторі E^n, k = (k_i) \in E^n, та \alpha_1, \dots, \alpha_n — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок x=x_i простору E^n, координати яких представлено у вигляді:

 x_i = k_i + \alpha_i t,\qquad -\infty< t < +\infty,\quad i=1, \dots, n,

називається прямою в просторі E^n що проходить через точку k в «напрямі» (\alpha_1, \dots, \alpha_n).[2]

Частина прямої, що відповідає зміні параметру t в деякому відрізку [a, b] називається прямолінійним відрізком а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку  t\ge a, — промінем.

Якщо задано дві точки (x'_i), (x''_i) то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:

x_i = x'_i + (x''_i - x'_i)t, \qquad -\infty < t < +\infty, i = 1,\dots, n.

Узагальнене визначення[ред.ред. код]

  • Прямою в афінному просторі \mathcal{A} що задається точкою M_0 та відмінним від нуля вектором \mathbf{a}\in \mathcal{V} називається множина точок M, для яких вектор \overrightarrow{M_0 M} колінеарний вектору \mathbf{a}, тобто, виконується рівність:[3]
\overrightarrow{M_0 M} = l\mathbf{a}.

Таким чином, довільна пряма в просторі \mathcal{A} має властивості афінного простору розмірності 1.

Властивості[ред.ред. код]

Пряма m паралельна площині \alpha тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма p паралельна прямій m.[4]

Якщо пряма m паралельна кожній з площин \alpha та \beta що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.[4]

Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.[4]

Примітки[ред.ред. код]

  1. (Постников, с. 176)
  2. Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, т. 1. с. 264. 
  3. Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 
  4. а б в Я. П. Понарин (2006). Элементарная Геометрия. т.2. ISBN 5-94057-223-5. 

Див. також[ред.ред. код]