Пряма

Пряма́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.

Алгебраїчне визначення

Три графіки лініній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

$ax + by + c = 0$

де $a\,$, $b\,$, $c\,$ — деякі числа, при чому $a\,$ або $b\,$ повинне бути відмінне від нуля. Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

$y=kx+b$.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

В n-вимірному просторі

Нехай задано вектор $k$ в n-вимірному Евклідовому просторі $E^n$, $k = (k_i) \in E^n$, та $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок $x=x_i$ простору $E^n$, координати яких представлено у вигляді:

$x_i = k_i + \alpha_i t,\qquad -\infty< t < +\infty,\quad i=1, \dots, n$,

називається прямою в просторі $E^n$ що проходить через точку $k$ в «напрямі» $(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$.

Частина прямої, що відповідає зміні параметру $t$ в деякому відрізку $[a, b]$ називається прямолінійним відрізком а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку $t\ge a$, — промінем.

Якщо задано дві точки $(x'_i)$, $(x''_i)$ то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:

$x_i = x'_i + (x''_i - x'_i)t, \qquad -\infty < t < +\infty, i = 1,\dots, n$.

Узагальнене визначення

Прямою в афінному просторі $\mathcal{A}$ що задається точкою $M_0$ та відмінним від нуля вектором $\mathbf{a}\in \mathcal{V}$ називається множина точок $M$, для яких вектор $\overrightarrow{M_0 M}$ колінеарний вектору $\mathbf{a}$, тобто, виконується рівність:

$\overrightarrow{M_0 M} = l\mathbf{a}.$

Таким чином, довільна пряма в просторі $\mathcal{A}$ має властивості афінного простору розмірності 1.

Властивості

Пряма $m$ паралельна площині $\alpha$ тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма $p$ паралельна прямій $m$.

Якщо пряма $m$ паралельна кожній з площин $\alpha$ та $\beta$ що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.

Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.

Див. також

• Паралельні прямі,
• Перпендикулярність прямих на площині,
• Лінія Ейлера,
• Лінійне рівняння,
• Крива.