Алгебра подій

Алгебра подій в теорії ймовірностей — алгебра підмножин простору елементарних подій $~\Omega$, елементами якого служать елементарні події.

Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина), замкнену відносно теоретико-множинних операцій, виконаних у скінченному числі. Достатньо щоб алгебра подій була замкнута відносно двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість відносно будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій, замкнута щодо скінченного числа теоретико-множинних операцій, називається сигма-алгеброю подій.

У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри та сигма-алгебри подій:

• алгебра скінченних підмножин $~\Omega$;
• сигма-алгебра скінченних підмножин $~\Omega$;
• алгебра підмножин $\mathbb {R} ^{n}$, утворена кінцевими об'єднаннями інтервалів;
• сигма-алгебра борелівських підмножин топологічного простору $~\Omega$, тобто найменша сигма-алгебра, що містить усі відкриті підмножини;
• алгебра циліндрів в просторі функцій і сигма-алгебра, породжена ними.

Алгебри та сигма-алгебри подій — це області визначення ймовірності $\mathbf {P}$ . Якщо $\mathbf {P} (x)=0$, то подія $x\subseteq \Omega$ називається неможливою подією; якщо $\mathbf {P} (x)=1$ , то подія $x\subseteq \Omega$ називається достовірною подією;

Подія $A+B$ або $A\cup B$ , полягає в тому, що з двох подій $A$ і $B$ відбувається принаймні одна, називається сумою подій $A$ і $B$ .

Будь–яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженій даною алгеброю подій.

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Кільце множин