Доповнення множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоретико-множинні операції

\overline{A} \! доповнення

A\cup B\! об'єднання
A\cap B\! перетин

A\setminus B\! різниця

A\triangle B\! симетрична різниця
A\times B\! декартів добуток



В теорії множин та інших галузях математики, одна з основних операцій на множинах.

Розрізняють доповнення множин (абсолютне доповнення) та різницю множин (відносне доповнення).


Різниця множин (відносне доповнення)[ред.ред. код]

Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементів B, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.

Відносне доповнення A до B:
B \setminus A~~~=~~~A^c \cap B

Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).

Формально:

B - A = \{ x \, | \, x\in B \,\wedge\, x \not \in A \}

Приклади:

Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетину множин

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі такі співвідношення::

  • C − (AB)  =  (C − A) ∪(C − B)
  • C − (AB)  =  (C − A) ∩(C − B)
  • C − (B − A)  =  (AC) ∪(C − B)
  • (B − A) ∩C  =  (BC) − A  =  B ∩(C − A)
  • (B − A) ∪C  =  (BC) − (A − C)
  • A − A  =  Ø
  • Ø − A  =  Ø
  • A − Ø  =  A

Абсолютне доповнення[ред.ред. код]

Доповнення A до U
A^c~~~=~~~U \setminus A

Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) A, і позначається як AC або CA:

AC  =  U − A

Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання та перетину множин

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються такі співвідношення:

правила де Моргана:
  • (AB)C  =  ACBC
  • (AB)C  =  ACBC
закони доповнення:
  • AAC   =  U
  • AAC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією):
  • ACC  =  A.

Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є непорожня підмножина U, то {A, AC } є поділом U.