База топології

База топології — множина ${\mathfrak {B}}$ відкритих підмножин X така, що кожна відкрита множина $G\subset X$ є об'єднанням деяких елементів $U\subset {\mathfrak {B}}$. Поняття бази — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює множина всіх відкритих множин.

База топології однозначно визначає топологію. Тому для визначення деякої топології на просторі Х достатньо визначити деяку базу, а за відкриті множини взяти всі можливі об'єднання елементів бази. Щоб система множин ${\mathfrak {B}}$, була базою якоїсь топології простору Х, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла дві умови:

1. Система є покриттям простору X.
   
2. Для будь-яких двох елементів B1, B2 системи ${\mathfrak {B}}$ і будь-якої точки x з їхнього перетину знайдеться деякий елемент B3 системи ${\mathfrak {B}}$ який містить точку х і є підмножиною перетину B1, B2.

Приклади

• Якщо X і Y — топологічні простори з базами топологій ${\mathfrak {B}}_{X}$ і ${\mathfrak {B}}_{Y}$, тоді топологія на декартовому добутку X×Y задається за допомогою бази

${\mathfrak {B}}_{X\times Y}=\{U\times V\,:U\in {\mathfrak {B}}_{X},\,V\in {\mathfrak {B}}_{Y}\}$

При цьому топологія на X × Y не залежатиме від того, які бази просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією декартового добутку топологічних просторів.

• Топологія простору дійсних чисел $\mathbb {R}$ задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає базу цієї топології. Аналогічно топологія простору $\mathbb {R} ^{n}$ задається базою відкритих елементів $(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})\times \dots \times (a_{n},b_{n}),$ і ця топологія, очевидно, збігається із стандартною топологією прямого добутку просторів.

• Прикладом множини відкритих множин, що не є базою може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де a — деяке дійсне число.

Пов'язані означення

• Мінімум серед потужностей усіх баз називається вагою топологічного простору X.

• В просторі ваги $\tau$ існує усюди щільна множина потужності $\leqslant \tau$.
• Простори із зліченною базою називаються також просторами з другою аксіомою зліченності.

• Локальною базою простору X в точці $x\in X$ (базою точки x) називається множина ${\mathfrak {B}}(x)$ його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу O_x точки x знайдеться елемент $V\in {\mathfrak {B}}(x)$ такий, що $x\in V\subset O_{x}$.

• Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності.

• Нехай ${\mathfrak {m}},{\mathfrak {n}}$ — деякі кардинальні числа. База ${\mathfrak {B}}$ простору X називається ${\mathfrak {m}}$-точковою, якщо кожна точка $x\in X$ належить не більше ніж ${\mathfrak {m}}$ елементам сімейства ${\mathfrak {B}}$. Зокрема, при ${\mathfrak {m}}=1$ база називається диз'юнктивною, при скінченному ${\mathfrak {m}}$ — точково скінченною, при ${\mathfrak {m}}={\mathcal {X}}_{0}$ — точково зліченною.

Властивості

• Множина ${\mathfrak {B}}$ відкритих в X множин є базою тоді і тільки тоді, коли вона є локальною базою кожної точки простору X $x\in X$.

Варіації і узагальнення

• Існує також двоїсте поняття замкнутої бази. Множина F підмножин топологічного простору називається замкнутою базою, якщо кожна відкрита підмножина може бути подана як перетин деяких елементів F.
• Передбаза — множина Y відкритих підмножин топологічного простору X така, що сукупність всіх множин, що є перетином скінченного числа елементів Y, утворює базу простору X.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.