Відношення переваги

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Відношення переваги в теорії споживання – це формальний опис здатності споживача порівнювати (впорядковувати за бажаністю) різні набори товарів (споживчі набори). Щоб описати відношення переваги не обовязково вимірювати бажаність кожного споживчого набору в деяких одиницях виміру, слід лише подати будь-який метод порівняння таких наборів (порядковий підхід). Відношення переваги є, поряд із бюджетним обмеженням, базовим поняттям при формальній постановці задачі максималізації корисності (задачі про вибір споживача).

Альтернативний кількісний підхід вимагає надання кожному споживчому наборові певної (числової) корисності. Прикладом змістовного надання кожному набору деякої "кількості корисності" є імовірність досягнення певної мети при володінні набором. Кількісний підхід накладає жорсткіші припущення про споживача і застосовується рідше.

Вивчаючи відношення переваги між реальними об'єктами, можна виокремити в ньому два аспекти: один відображає перевагу (переважання, домінування) одного об'єкта над іншим, а другий — байдужість (індиферентність, толерантність) об'єктів.

Простір товарів[ред.ред. код]

Нехай n\,\! – число наявних товарів, товари пронумеровані від 1 до n\,\!. Припустимо, що всі товари є довільно подільні. Кожен споживчий набір описується вектором x=(x_1, x_2,...,x_n)\,\!. Таким чином, споживчі набори ототожнюємо з точками простору R^n\,\!, який назвемо простором товарів.

Часто простір товарів звужують до певної множини X \subset R^n, найчастіше за X\,\! приймають невід’ємний ортант  R_+^n\,\!. Невід’ємність елементів вектора x\,\! означає, що кожний товар може бути присутнім (x_i>0\,\!) або відсутнім (x_i=0\,\!) в споживчому наборі, але не розглядаємо ситуації, коли споживач позбувається певної кількості товару.

Відношення (слабкої) переваги[ред.ред. код]

Відношення переваги (деколи кажуть відношення слабкої переваги) – це рефлексивне, повне та транзитивне (бінарне) відношення  \succeq на просторі товарів X\,\!. Отже,  \succeq задовільняє аксіоми:

(A1) \forall x \in X, x\succeq x (рефлексивність)

(A2)  \forall x,y \in X, x\succeq y \or y \succeq x (повнота)

(A3)  \forall x,y,z \in X виконується  x\succeq y \land y \succeq z  => x\succeq z (транзитивність)

Властивість рефлексивності є формальним наслідком повноти, аксіома (A1) подана окремо для зручності.

Пара (X, \succeq) називається полем переваг. x\succeq y означає, що споживач надає перевагу набору x над набором y або ці набори є рівноцінні для споживача і читається читається „x переважає y”, „x слабо переважає y” або „x не гірше за y”.

Відношення байдужості та строгої переваги[ред.ред. код]

Відношення переваги дозволяє ввести два додаткові відношення на просторі товарів:

  • Відношення байдужості: x\sim y <=> x\succeq y \land y\succeq x . Запис x\sim y\,\! означає, що ці набори є рівноцінні для споживача і читається „x рівноцінне y”, „x перебуває у відношенні байдужості до y”.
  • Відношення строгої переваги: x\succ y <=> x\succeq y \land \lnot(y\succeq x) . Запис x\succ y\,\! означає, що набір x\,\! є для споживача кращим за набір y\,\! і читається „x строго переважає y”, „x краще за y”.

З аксіоми повноти та наведених означень відношення байдужості та строгої переваги випливає, що  \forall x,y \in X виконується рівно одне з відношень x\sim y, x \succ y або y \succ x .

Відношення байдужості та строгої переваги мають такі властивості:

  • Відношення \succ є іррефлексивне, тобто не існує такого  x \in X, що x \succ x
  • Відношення \succ є транзитивне, тобто  x\succ y \land y \succ z  => x\succ z
  •  x\succeq y \land y \succ z  => x\succ z
  •  x\succ y \land y \succeq z  => x\succ z
  • відношення байдужості є відношенням еквівалентності, тобто задовільняє властивості

Оскільки відношення байдужості є відношенням еквівалентності на X\,\!, то воно розбиває X\,\! на класи еквівалентності, які називають класами байдужості. Кожний такий клас складається з попарно байдужих наборів.

Практичне застосування теорії корисності[ред.ред. код]

Практичне застосування теорії корисності ґрунтується на таких аксіомах:

  1. Результат (альтернатива) x\,\! є кращою за альтернативу y\,\! (записується x > y\,\!), тоді і тільки тоді, коли u(x) > u(y)\,\!, де u(x)\,\!, u(y)\,\! — значення корисності результатів x\,\! і y\,\! відповідно.
  2. Якщо x > y\,\! та y > z\,\!, то x > z\,\! і u(x) > u(z)\,\! (транзитивність).
  3. Якщо x\,\!, y\,\! — деякі альтернативи, то u(x,y) = u(x) + u(y)\,\! (адитивність).

Аналогічно, коли є n\,\! результатів x_1, x_2,...,x_n\,\!, які досягаються одночасно, то

u(x_1,x_2,...,x_n) = u(x_1) + u(x_2) + ... + u(x_n)\,\!.

Тобто, корисність кількох результатів, які досягаються одночасно, дорівнює сумі значень їх корисностей.

Додаткові властивості відношення переваги[ред.ред. код]

Аксіоми (А1), (А2), (А3) впроваджують відношення порядку на класах байдужості у просторі товарів X\,\!. У більшості випадків порівняння споживчих наборів володіє також додатковими властивостями. Найчастіше це є властивості монотонності, неперервності та опуклості.

Монотонне відношення переваги[ред.ред. код]

Монотонність відношення переваги означає, що споживач віддає перевагу більшим наборам над меншими. Ця властивість є згідна з поведінкою споживачів у більшості ситуацій. Часом властивість строгої монотонності формулюють як аксіому ненасичуваності споживача.

Докладніше у статті Монотонне відношення переваги
.

Неперервне відношення переваги[ред.ред. код]

Неперервність відношення переваги означає, що якщо споживач віддає перевагу набору x\,\! над набором y\,\!, то він також віддасть перевагу наборам близьким до x\,\! над наборами близькими до y\,\!.

З неперервності випливає, що переміщаючись від набору гіршого за довільно вибраний набір y\,\! до кращого за y\,\! , по дорозі завжди натрапимо на набір байдужий стосовно y\,\! .

Якщо відношення переваги є монотонним та неперервним, то класи байдужості будуть гіперповерхнями. У випадку двох товарів (тобто X= R_+^2) класи байдужості називають кривими байдужості.

Докладніше у статті Неперервне відношення переваги
.

Опукле відношення переваги[ред.ред. код]

Опуклість відношення переваги — це властивість, що описує схильність споживача до збалансованого споживання наявних товарів. На приклад, якщо споживач стверджує, що набір x\,\! складений з двох однакових пачок кави та набір y\,\! складений з двох однакових пачок чаю є однаково добрі (перебувають у відношенні байдужості, x\sim y\,\! ), то можна очікувати, що середній набір z=(x+y)/2\,\! складений з однієї пачки кави та однієї пачки чаю виявиться принаймі не гіршим ( z\succeq x, z\succeq y\,\! ). У випадку взаємодоповнюючих товарів ця властивість є ще більш природньою.

Криві байдужості монотонного, неперервного та опуклого відношення переваги є спадними опуклими кривими.

Докладніше у статті Опукле відношення переваги
.

Приклади[ред.ред. код]

  1. Турнір, де результат зустрічі двох учасників — виграш одного з них або нічия (як у шахах). На множині учасників турніру задають відношення домінування та байдужості: a\,\! домінує над b\,\! означає, що a\,\! виграв у b\,\! ; a\,\! та b\,\! байдужі означає, що вони зіграли внічию.
  2. Голосування, проведене для групи кандидатів. На множині кандидатів a\,\! домінує b\,\!, якщо за нього подано більше голосів, ніж за a\,\!; a\,\! та b\,\! байдужі, якщо за них подано однакову кількість голосів (це стосується лише двох кандидатів);

Приклад розв'язання задачі[ред.ред. код]

Нехай експерт упорядковує п'ять результатів x_1, x_2,...,x_5\,\!, надавши їм такі оцінки:

u_0(x_1)=7; u_0(x_2)=4; u_0(x_3)=2; u_0(x_4)=1,5; u_0(x_5)=1\,\!

Розглянувши можливі варіанти вибору, він висловив такі думки про цінність тих чи інших комбінацій варіантів:

  1. x_1 > x_2 + x_3 + x_4 + x_5;\,\!
  2. x_1 > x_2 + x_3 + x_4;\,\!
  3. x_1 > x_2 + x_3 + x_5;\,\!
  4. x_1 > x_2 + x_3;\,\!
  5. x_2 > x_3 + x_4 + x_5;\,\!
  6. x_2 > x_3 + x_4;\,\!
  7. x_3 > x_4 + x_5;\,\!

Потрібно оцінити корисність результатів так, щоб задовольнити всі нерівності.

Розв'язання:

Для розв'язування цієї задачі підставляємо початкові оцінки в нерівність 7, тобто

u_0(x_3) = 2 > u_0(x_4) + u_0(x_5) = 2,5\,\!

Отже, нерівність 7 не задовольняється.

Змінимо корисність результату , і перевіримо нерівність 6.

Отже,

u_0(x_2) = 4 > u_1(x_3) + u_0(x_4) = 4,5.\,\!

Ця нерівність також не задовольняється.

Приймемо, що u_1(x_2) = 5\,\!. Тоді нерівність 5 задовольняється.

Звертаємося до нерівності 4:

u_0(x_1) = 7 > u_1(x_2) + u_1(x_3) = 8.\,\!

Вона не виконується.

Тому приймемо, що u_1(x_1) = 8,5\,\!. Тепер нерівності 3, 2, 1 задовольняються.

Перевіряємо знов нерівності 6 і 7 при змінених значеннях корисності альтернатив:

5 > 3 + 1,5,\,\!

5 > 1,5 + 1.\,\!

Таким чином, обидві нерівності виконуються.

Остаточні оцінки корисності результатів:

u_1(x_1) = 8,5; u_1(x_2) = 5; u_1(x_3) = 3; u_1(x_4) = 1,5; u_1(x_5) = 1;\,\!

Описану методику визначення корисності можна застосовувати, коли кількість результатів обмежена .

Функція корисності[ред.ред. код]

Поняття відношення переваги є корисним в теоретичних дослідженнях. Недоліком при розгляді практичних задач є відсутність вбудованого ефективного методу порівнянь споживчих наборів (за винятком особливих випадків, наприклад, лексикографічне відношення переваги). Такий метод вводиться за допомогою функції корисності пов'язаної з відношенням переваги.

Неформально кажучи, функція корисності присвоює кожному споживчому набору певне число (корисність) так, що кращому набору присвоюється більше число, а наборам, що перебувають у відношенні байдужості — те саме число. Криві байдужості відношення переваги є лініями рівня функції корисності.

Достатні умови існування функції корисності пов'язаної з відношенням переваги  \succeq \,\! формулює теорема Дебре.

Докладніше у статті Функція корисності
.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford:Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1. 
  • Varian, Hal R. (2005). Intermediate Microeconomics. W.W. Norton & Company. 
  • В.А. Козицький, С.П. Лавренюк, М.О. Оліскевич (2004). Основи математичної економіки. Теорія споживання. Львів: Піраміда. 
  • О. І. Пономаренко, М. О. Перестюк, В. М. Бурим (2004). Сучасний економічний аналіз. Мікроекономіка. Київ. ISBN 966-642-048-1.