Рефлексивне відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c \; \in{X}:$

рефлексивність $(a R a) \!$
антирефлексивність $\lnot(a R a) \!$

симетричність $a R b \Rightarrow b R a \!$
асиметричність $a R b \; \Rightarrow \lnot(b R a)$

антисиметричність $a R b \wedge b R a \Rightarrow a=b$
транзитивність $a R b \wedge b R c \Rightarrow a R c$
антитранзитивність $a R b \wedge b R c \Rightarrow \lnot(a R c)$

повнота $a R b \vee b R a \!$

В математиці, бінарне відношення R на множині X є рефлексивним якщо для кожного a ∈ X виконується aRa, тобто

$\forall a \in X,\ a R a$

Властивість рефлексивності: матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи головної діагоналі рівні 1; граф — тим, що кожна вершина має петлю — дугу (х, х).

Якщо ця умова не виконана ні для якого з елементів множини $X$ , тоді відношення $R$ називається антирефлексивним.

Якщо антирефлексивне відношення задано матрицею, то всі елементи її головної діагоналі дорівнюють нулю. Граф такого відношення характеризується тим, що не має жодної петлі — немає дуг вигляду (х, х).

Формально антирефлексивність відношення $R$ визначається як: $\forall a \in X:\ \neg (a R a)$ .