Рефлексивне відношення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Властивості бінарних відношень:
\forall a,b,c \; \in{X}:

рефлексивність (a R a) \!
антирефлексивність \lnot(a R a) \!

симетричність a R b \Rightarrow b R a \!
асиметричність a R b \; \Rightarrow \lnot(b R a)

антисиметричність a R b \wedge b R a \Rightarrow a=b
транзитивність a R b \wedge b R c \Rightarrow a R c
антитранзитивність a R b \wedge b R c \Rightarrow \lnot(a R c)

повнота a R b \vee b R a \!


В математиці, бінарне відношення R на множині X є рефлексивним якщо для кожного aX виконується aRa, тобто

\forall a \in X,\ a R a

Властивість рефлексивності: матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи головної діагоналі рівні 1; граф — тим, що кожна вершина має петлю — дугу (х, х).

Якщо ця умова не виконана ні для якого з елементів множини X, тоді відношення R називається антирефлексивним.

Якщо антирефлексивне відношення задано матрицею, то всі елементи її головної діагоналі дорівнюють нулю. Граф такого відношення характеризується тим, що не має жодної петлі — немає дуг вигляду (х, х).

Формально антирефлексивність відношення R визначається як: \forall a \in X:\ \neg (a R a).

Якщо умова рефлексивності виконана не для всіх елементів множини X, тоді кажуть, що відношення R нерефлексивне.

Приклади рефлексивних відношень[ред.ред. код]

  • = \! "дорівнює"
  • \le \! "менше або дорівнює"
  • \ge \! "більше або дорівнює"
  • \subseteq \!підмножиною або дорівнює"

Приклади відношень, що не є рефлексивними[ред.ред. код]

  • \ne \! "не дорівнює"
  • < \! "менше"
  • > \! "більше"
  • \subset \! "є підмножиною"