Основна теорема арифметики

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії чисел основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.

Теорема має численні застосування в елементарній арифметиці, є мірилом подільності для теорії многочленів, гауссових чисел та евклідових кілець взагалі.

Пояснення[ред.ред. код]

Для знаходження розкладу натурального числа на прості множники послідовно застосовується операція ділення числа на прості числа починаючи з найменшого. Причому, перехід до наступного більшого простого числа виконується тільки при неможливості цілого ділення на менше. Так, наприклад, можна отримати наступні розклади чисел 420 та 1200:

420=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7,
1200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2.

Згідно з основною теоремою арифметики стверджується, що ці представлення є унікальними для кожного числа, тобто не існує розкладів з іншим набором чисел або іншою кількістю однакових множників. Відминним може бути лише порядок множників, але, внаслідок комутативності та асоціативності множення, всі такі розклади є еквівалентними.

Таким чином, теоремою стверджується, що не існує таких чисел, які можна було б розкласти на прості множники різними способами.

У деяких випадках твердження основної теореми арифметики застосовуються для всіх цілих чисел крім нуля. При цьому прийнято вважати, що одиниця є добутком нульової кількості простих чисел (порожній добуток), а унікальність розкладу доводиться з точністю до порядку множників та їхніх знаків.

Застосування теореми[ред.ред. код]

З основної теореми арифметики можна зробити висновок про важливість простих чисел в арифметіці, на основі яких можна побудувати будь-яке ціле число.

Знаючи розклад числа на прості множники, можна отримати загальну кількість його дільників. Будь-який додатний дільник числа буде представлений тим же набором простих чисел, але з меншими показниками степеня у відповідних множників. Так, наприклад, всі дотатні дільники числа 1200 будуть мати наступну форму 2^a\cdot 3^b \cdot 5^c\! де a\in\{0,1,2,3,4 \}, b\in\{0,1\} та c\in\{0,1,2\}. Загальна кількість таких дільників буде дорівнювати 5\cdot2\cdot3=30.

Розклад чисел на прості множники дає легкий спосіб визначення найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного.

Узагальнення основної теореми арифметики на область цілих чисел дає можливість її представлення в алгебраїчних термінах[1], а саме: будь-який елемент, відмінний від нульового та одиничних, можна єдиним способом розкласти на прості множники з точністю до порядку множників та їхнього множення на одиничні елементи. В такому вигляді основну теорему можна застосовувати також для інших алгебраїчних множин, наприклад для аналізу кілець многочленів з раціональними коефіцієнтами або гаусових чисел. Але, як показав Ернст Куммер в 1843 році, для загальніших множин єдиність розкладу на прості множники не зберігається.

Доведення теореми[ред.ред. код]

Теорема була практично доведена Евклідом, але єдиність розкладу не була сформульована, й, напевно, приймалась як очевидний факт. Перший повний доказ теореми був даний Карлом Ґауссом, який звернув увагу на необхідність доказу неможливості співіснування різних розкладів одного числа на прості множники.

Доведення існування розкладу[ред.ред. код]

Можливість існування розкладу натурального числа може бути доведена від супротивного. Припустимо, що існують натуральні числа, які не можуть бути розкладені лише на прості множники. Тоді повинно існувати найменше з таких чисел, позначимо його n. Це число не може бути одиницею в зв'язку з представленням одиниці як порожнього добутку, а також не може бути простим числом, бо просте число вже є результатом добутку одного простого числа, самого себе. Таким чином, n повинно бути складеним числом, яке, в свою чергу, можна представити у вигляді

n = ab

де обидва a та b є натуральними числами меншими за n. Далі, тому що n є найменшим з чисел, яке не можна розкласти на прості множники, доходимо висновку, що множники a та b мають розкладатись в добутки простих чисел. Але, n = ab і в такому разі само повино бути добутком виключно простих чисел. Отримуємо протиріччя.

Доведення єдиності розкладу[ред.ред. код]

Існує багато доведень єдиності розкладу натуральних чисел, які відрізняються рівнями складності та загальності[2], але і тут можна скористатись доведенням від протилежного[3]. Припустимо, що існують два розклади числа n на прості множники:

n=p_1 \cdot p_2 \dots \cdot p_r = q_1 \cdot q_2 \dots \cdot q_s.

Оскільки p_1 є дільником лівої частини рівності, то він також повинен бути і дільником одного з множників q_k в правій частині. Але q_k є простим числом, а отже повинна бути справедливою тотожність p_1=q_k. Скоротивши рівність на спільний множник p_1=q_k, проведемо аналогічне зіставлення для множника p_2, який теж буде дорівнювати одному з q_k, що залишились після спрощення. В результаті, після скорочення всіх множників p_i в лівій стороні рівності отримуємо 1. З іншого боку, через те що всі q_k також є простими числами, праворуч також отримаємо одиницю. Отже, числа p_i та q_k попарно рівні, що доводить тотожність двох розкладів.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Жиков В. В. «Основная теорема арифметики». Архів оригіналу за 2013-06-26. Процитовано 2008-04-29. 
  2. Калужнин Л. А. (1969). Основная теорема арифметики. М: Наука. с. 32. 
  3. Курант Р. Роббинс Г. (2001). Что такое математика?. М: МЦНМО. с. 568. ISBN 5-900916-45-6.