Лишок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допмогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Зміст

1 Визначення
- 1.1 Лишок у «нескінченності»
2 Логарифмічний лишок
3 Методи обчислення лишків
4 Див. також
5 Джерела

[ред.] Визначення

Нехай функція $f(z)\,$ має ізольовану особливу точку однозначного характеру $z=a\,$ (або регурлярна у цій точці). При скінченному $a\,$ лишком функції $f(z)\,$ у точці $z=a\,$ називається величина

$\mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=\frac {1}{2\pi i} \oint_{|z-a|=\varrho} f(z)dz$

Оскільки $\varrho\,$ — будь-яке достатньо мале додатнє число, а $f(z)\,$ — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Не складно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції $f(z)\,$ по степеням $z-a\,$ в ряд Лорана є лишком цієї функції:

$\mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=C_{-1}\,$

[ред.] Лишок у «нескінченності»

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Римана). Нехай точка $z=\infty\,$ є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції $f(z)\,$ , тоді лишком у нескінченності називається число

$\mathrm{res}_\infty f(z)=-\frac {1}{2\pi i} \oint_{|z|=R} f(z)dz$ ,

де $R\,$ — будь-яке достатньо велике додатнє число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:

$\mathrm{res}_\infty f(z)=-C_{-1}\,$

[ред.] Логарифмічний лишок

Інтеграл виду

$\frac {1}{2\pi i} \oint_{C} \frac {f'(z)}{f(z)}dz$

називається логарифмічним лишком функції $f(z)\,$ відносно контура С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргумента:

$\frac {1}{2\pi i} \oint_{C} \frac {f'(z)}{f(z)}dz =\frac {1}{2\pi i} \oint_{C} (\mathrm{Ln}(f(z))'dz=\frac {1}{2\pi i} \mathrm{Ln}(f(z))_C= \frac {1}{2\pi i} (\ln|f(z)|+i\mathrm{arg}f(z))_C=\frac {1}{2\pi} \Delta_C \mathrm{arg} f(z)$

[ред.] Методи обчислення лишків

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

[ред.] Усувна особлива точка

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то

$\mathrm{res}_\infty f(z)=-C_{-1}=\lim_{z \to \infty} [z(f(\infty)-f(z))]$

[ред.] Полюс

Простий полюс у точці $z=a\,$ :

$\mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=\lim_{z \to a} (f(z)(z-a))$

Полюс кратності n у точці $z=a\,$ :

$\mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)={1\over(n-1)!}\lim_{z\to a}{{d^{(n-1)}\over dz^{(n-1)}}[f(z)(z-a)^n]}$

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: $f(z)=\frac {g(z)}{h(z)}$ , і $h(a)=a, g(a) \ne 0 \,$ , то:

$\mathrm{res}_{\text{z=a}} f(z)=\frac {g(a)}{h'(a)}$

[ред.] Істотно особлива точка

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:

$f(z)=(2z-1)\cos \frac {z}{z-1}=(2(z-1)+1)\cos \left (1+\frac {1}{z-1} \right)=(2(z-1)+1)(\cos1\cos\frac {1}{z-1}-\sin1\sin\frac {1}{z-1})$

Розвинемо $\cos \frac {1}{z-1}\,$ та $\sin\frac {1}{z-1}\,$ в ряд Лорана:

$\cos\frac {1}{z-1}=1-\frac{1}{2! (z-1)^2}+\frac{1}{4! (z-1)^4}-...$

$\sin\frac {1}{z-1}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{3! (z-1)^3}+\frac{1}{5! (z-1)^5}-...$

Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:

$\mathrm{res}_{z=1}=C_{-1}=-\cos1-\sin1\,$

[ред.] Див. також

[ред.] Джерела

Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.

Лишок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Лишок у «нескінченності»

[ред.] Логарифмічний лишок

[ред.] Методи обчислення лишків

[ред.] Усувна особлива точка

[ред.] Полюс

[ред.] Істотно особлива точка

[ред.] Див. також

[ред.] Джерела

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами