Множина розв'язків

У математиці множина розв'язків — це множина значень, які задовольняють заданому набору рівнянь або нерівностей.

Наприклад, для набору $\{f_{i}\}$ многочленів над кільцем $R$, множина розв'язків є підмножиною $R$ на якій всі поліноми перетворюються на нуль, формально

$\{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}.\$

Допустимий регіон задачі оптимізації з обмеженнями є множиною розв'язків обмежень.

Приклади

1. Множиною розв'язків єдиного рівняння $x=0$ є множина {0}.
2. Для будь-якого ненульового многочлена $f$ над комплексними числами в одній змінній множина розв'язків складається зі скінченної кількості точок.
3. Однак для комплексного полінома з більш ніж однією змінною множина розв'язків не має ізольованих точок.

Зауваження

В алгебричній геометрії множини розв'язків називають алгебричними множинами, якщо немає нерівностей. Над дійсними числами і з нерівностями їх називають напівалгебричними множинами.

Інші значення

Загальніше, множина розв'язків для довільної колекції E відношень (E_i) (i змінюється в деякому наборі індексів I) для набору невідомих ${(x_{j})}_{j\in J}$, які мають набувати значень у відповідних просторах ${(X_{j})}_{j\in J}$, — множина S всіх розв'язків відношень E, де розв'язок $x^{(k)}$ це сімейство значень ${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$ таке, що підстановка $x^{(k)}$ замість ${\left(x_{j}\right)}_{j\in J}$ у колекції E робить усі відношення істинними.

(Замість відношень, що залежать від невідомих, правильніше говорити про предикати, колекція E є їх логічною кон'юнкцією, а множина розв'язків є оберненим відображенням булевого значення істина за допомогою пов'язаної з ним логічної функції.)

Наведене вище визначення є окремим випадком цього, якщо множину поліномів f_i інтерпретувати як множину рівнянь f_i(x)=0.

Приклади

• Множиною розв'язків для E={x+y=0} при $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ є $S=\{(a,-a)|a\in \mathbb {R} \}$.
• Множиною розв'язків для E = {x+y=0} при $x\in \mathbb {R}$ є S={−y}. (Тут y не «оголошено» як невідоме, і тому його слід розглядати як параметр, від якого залежить рівняння, а отже, й множина розв'язків.)
• Множиною розв'язків для $E=\{{\sqrt {x}}\leqslant 4\}$ при $x\in \mathbb {R}$ є інтервал S=[0,2] (оскільки ${\sqrt {x}}$ не визначено для від'ємних значень x).
• Множиною розв'язків для $E=\{e^{ix}=1\}$ при $x\in \mathbb {C}$ є $S=2\pi \mathbb {Z}$ (див. тотожність Ейлера).

Див. також

• Розв'язування рівнянь
• Сторонні та відсутні розв'язки