Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана-Больцмана дає залежність енергії випромінювання з одиниці площі поверхні в одиницю часу від ефективної температури тіла, що випромінює.

Загальний вигляд

Загальна енергія теплового випромінювання визначається як:

$F=\sigma T^4\,\!$,

де $F$ — потужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

$\sigma=\frac{2 \pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} \simeq 5,6704\cdot10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана—Больцмана.

Доведення закону

Інтесивність випромінювання енергії абсолютно чорним тілом в залежності від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

$B(\nu,T) =\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1},$

де

• $B(\nu,T)d\nu \,$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні в одиницю часу в одиницю тілесного кута на частоті ν абсолютно чорним тілом з температурою T
• $h \,$ - стала Планка
• $c \,$ - швидкість світла
• $k \,$ - стала Больцмана.

Потік випромінювання визначається через інтенсивність як $F(\nu,T)=\pi B(\nu,T)$. Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах всіх можливих значень частоти:

$F(T)=\int_{0}^{\infty}\pi B(\nu,T) d\nu =\int_{0}^{\infty}\frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu= \frac{2 \pi h}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^{4}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1} dx,$

де виконано заміну змінної інтеррування $\nu=\frac{kTx}{h}$ й відповідно $d\nu=\frac{kT}{h}dx$.

Отриманий інтеграл є табличним й дорівнює $\frac{\pi^4}{15}$, тому:

$F(T) = \frac{2 h \pi^5}{15 c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^{4} =\frac{2\pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4 = \sigma T^4,$

де $\sigma\,$ є сталою Стефана-Больцмана