Закон Стефана — Больцмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Закон Стефана-Больцмана дає залежність енергії випромінювання з одиниці площі поверхні в одиницю часу від ефективної температури тіла, що випромінює.

Загальний вигляд[ред.ред. код]

Загальна енергія теплового випромінювання визначається як:

F=\sigma T^4\,\!,

де Fпотужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

\sigma=\frac{2 \pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} \simeq 5,6704\cdot10^{-8} Вт/(м²·К4) — стала Стефана—Больцмана.

Доведення закону[ред.ред. код]

Інтесивність випромінювання енергії абсолютно чорним тілом в залежності від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

B(\nu,T) =\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1},
де

Потік випромінювання визначається через інтенсивність як F(\nu,T)=\pi B(\nu,T). Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах всіх можливих значень частоти:

F(T)=\int_{0}^{\infty}\pi B(\nu,T) d\nu =\int_{0}^{\infty}\frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu=
\frac{2 \pi h}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^{4}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1} dx,
де виконано заміну змінної інтеррування \nu=\frac{kTx}{h} й відповідно d\nu=\frac{kT}{h}dx.

Отриманий інтеграл є табличним й дорівнює \frac{\pi^4}{15}, тому:

F(T) = \frac{2 h \pi^5}{15 c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^{4} =\frac{2\pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4 = \sigma T^4,
де \sigma\, є сталою Стефана-Больцмана