Закон зміщення Віна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Криві потоку випромінювання абсолютно чорних тіл з різною температурою. Наочно можна бачити, що при зростанні температури максимум випромінювання зсувається в ультрафіолетовий бік спетру (в область коротких довжин хвиль). Саме цю особливість й описує закон зміщення Віна.

Закон зміщення Віна дає залежність довжини хвилі, на якій потік випромінювання енергії чорного тіла сягає свого максимуму, від температури чорного тіла.

Загальний вигляд закону зміщення Віна[ред.ред. код]

\lambda_{\max}=\frac{0{,}002898}{T}

де T — температура в кельвінах, а \lambda_{\max} — довжина хвилі з максимальною інтенсивністю у метрах. Слід зазначити, що коефіцієнт у даній формулі має при цьому розмірність [ м К].


Доведення закону[ред.ред. код]

Для доведення можна використати вираз закону випромінювання Планка для абсолютно чорного тіла, записаного для довжин хвиль:

B(\lambda,T) = {2 h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}.

Щоб знайти екстремуми цієї функції в залежності від довжини хвилі, її слід продиференціювати по \lambda й прирівняти диференціал до нуля:

{ \partial B \over \partial \lambda } =  \frac{2 h c}{\lambda^6} {1\over e^{h c/\lambda kT}-1} \left( {hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} -  5 \right)=0

З цієї формули відразу можна визначити, що похідна наближається до нуля коли \lambda\rightarrow\infty чи коли e^{h c/\lambda kT}\rightarrow\infty, що справджується при \lambda\rightarrow0. Проте, обидва ці випадки дають мінімум функції Планка B(\lambda), яка для зазначених довжин хвиль сягає свого нуля (див. малюнок угорі). Тому аналіз слід продовжити лише з третім можливим випадком коли

 {hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} -  5 =0

Використовуючи заміну змінних x={hc\over kT \lambda}, дане рівняння можна перетворити на

{x e^x \over e^x - 1}-5=0.

Чисельний розв'язок цього рівняння дає [1]:

x = 4.965114231744276\ldots

Таким чином, враховуючи заміну змінних та значення сталих Планка, Больцмана та швидкості світла, довжина хвилі, на якій інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла сягає свого максимуму, визначається як

\lambda_\max = {hc\over x }{1\over kT} = {2.89776829\ldots \times 10^{-3}\over T},

де температура задана в кельвінах, а \lambda_{\max} — у метрах.


Приклади[ред.ред. код]

Згідно із законом зміщення Віна людське тіло з температурою 290 K (+13°C) має максимум теплового випромінювання на довжині хвилі 10 μм, що відповідає інфрачервоному діапазону випромінювання.

Реліктове випромінювання космосу має ефективну температуру 2,7 K й сягає свого максимуму на довжині хвилі 1 мм. Відповідно ця довжина хвилі належить вже до радіодіапазону.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Джерела та примітки[ред.ред. код]

  1. Рівняння {x e^{x}\over e^{x} - 1} = n не можливо розв'язати застосовуючи елементарні фунції. Його точний розв'язок можна знайти лише за допомогою Lambert's Product Log function, проте в даному випадку можна скористатися й наближеним розв'язком.
  • B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision," Am. J. Phys. 67 (11), 946-953 1999.
  • M. A. Heald, "Where is the 'Wien peak'?", Am. J. Phys. 71 (12), 1322-1323 2003.