Квадратний корінь матриці

Квадратний корінь матриці — є розширенням поняття квадратного кореня з чисел на матриці.

Матриця $\mathbf {B}$ є коренем матриці $\mathbf {A}$ якщо добуток матриць $\mathbf {BB}$ рівний $\mathbf {A}$.

Властивості

В загальному випадку квадратна матриця може мати декілька коренів. Наприклад, матриця $\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ має корені $\left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)$ та $\left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)$.

Одинична матриця ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ має нескінченно багато симетричних раціональних квадратних коренів виду:

${\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),$

де $(r,s,t)$ — піфагорові трійки, тобто, натуральні числа для яких виконується $r^{2}+s^{2}=t^{2}$.

Хоча невід’ємноозначена матриця розміру n×n завжди має рівно один корінь, який називається арифметичним квадратним коренем, всього в неї 2ⁿ коренів.

Розклавши таку матрицю за власними векторами, отримаємо $\mathbf {VDV^{-1}} ,$ де $\mathbf {D}$ — діагональна матриця з власними значеннями $\lambda _{i}\geq 0$. Отже квадратним коренем буде матриця $\mathbf {VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}} ,$ де $\mathbf {D^{\frac {1}{2}}}$ — діагональна матриця з елементами $\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}$ на діагоналі.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)