Діагональна матриця

Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.

Більш формально, діагональною називають таку матрицю $A$, що $\forall i\neq j: a_{ij}=0$.

Можна також записати

$a_{ij} = a_i \delta_{ij} \,$,

де $\delta_{ij}$ - символ Кронекера.

Одинична матриця діагональна за визначенням.

Властивості

• Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:
  • $\ diag(a_1,\ldots,a_n) + diag(b_1,\ldots,b_n) = diag(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)$
  • $\ diag(a_1,\ldots,a_n) \cdot diag(b_1,\ldots,b_n) = diag(a_1b_1,\ldots,a_nb_n)$
  • $\ diag(a_1,\ldots,a_n)^{-1} = diag(a_1^{-1},\ldots,a_n{-1})$
• Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі.
• В матриці $\ diag(a_1,\ldots,a_n)$ власними значеннями є $\ a_1,\ldots,a_n$ з власними векторами $\ e_1,\ldots,e_n$.
• Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.

Застосування

• Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізуємими.

Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження:

• відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці

$\forall A \; (AA^* = A^*A) \;\; \exist U (U^*=U^{-1}): \;\; UAU^*=D$

• відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами

$\forall A \; \exist U,V (U^*=U^{-1}, V^*=V^{-1}): \;\; U^*AV=D, D>0$

Див. також

• Теорія матриць
• Спектральна теорема
• Сингулярний розклад матриці
• Нормальна матриця
• Унітарна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.