Комутант

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].

Визначення[ред.ред. код]

Комутатори[ред.ред. код]

Комутатор елементів g \in G і h \in G — елемент [g, h], що визначається за формулою:

[g,h]= g h g^{-1} h^{-1}\, .

Комутант групи[ред.ред. код]

Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].

  [G,G] = < \{ [g,h] \, | \, (g,h) \in G^2 \} >
  • Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:
[g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n]

Абелізація[ред.ред. код]

Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :

Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]\,
Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.

Похідні ряди[ред.ред. код]

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:

\ G^{(0)} := G
G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \N

Групи G^{(2)}, G^{(3)}, \ldots називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:

\cdots \triangleleft G^{(2)} \triangleleft G^{(1)} \triangleleft G^{(0)} = G

називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується \ G^{(n)}=\{e\}, то група G називається розв'язною.

Властивості[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]