Комутант

Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].

Визначення

Комутатори

Комутатор елементів $g \in G$ і $h \in G$ — елемент $[g, h]$, що визначається за формулою:

$[g,h]= g h g^{-1} h^{-1}\,$.

Комутант групи

Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].

$[G,G] = < \{ [g,h] \, | \, (g,h) \in G^2 \} >$

• Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:

$[g_1,h_1] \cdots [g_n,h_n]$

• Комутант є характеристичною і, відповідно, нормальною підгрупою.

Абелізація

Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :

$Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]\,$

Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.

Похідні ряди

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:

$\ G^{(0)} := G$

$G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \N$

Групи $G^{(2)}, G^{(3)}, \ldots$ називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:

$\cdots \triangleleft G^{(2)} \triangleleft G^{(1)} \triangleleft G^{(0)} = G$

називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується $\ G^{(n)}=\{e\},$ то група G називається розв'язною.

Властивості

• Комутант групи є характеристичною підгрупою, а будь-яка підгрупа, що містить комутант є нормальною.

Див. також

• Комутатор (математика)

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9.