Замикання (математика)
В математиці, множина є замкнутою відносно деякої операці, якщо результатом виконання цієї операції над елементами множини завжди буде елемент цієї множини.
- Наприклад, дійсні числа є замкнутими відносно віднімання, а натуральні числа — ні.
Якщо множина є замкнутою відносно операції, то кажуть що вона задовільняє властивість замикання.
Сучасний теоретико-множинний підхід зазвичай визначає операції як відповідність між множинами, в такому випадку поняття замикання є не потрібним, хоча воно має зміст для підмножин.
- Наприклад, дійсні числа є замкнутими відносно віднімання, а підмножина натуральних чисел — ні.
Якщо множина S не є замкненою відносно деякої операції, то шукають найменшу замкнену множину, що містить S. Таку множину називають замиканням S відносно цієї операції.
Множина S повинна бути підмножиною деякої замкненої множини, щоб можна було знайти замикання.
- Наприклад: замиканням відносно віднімання для натуральних чисел, що є підмножиною дійсних чисел, будуть цілі числа.
Також існує поняття замикання множини відносно деякого відношення.
Оператор замикання [ред.]
- Докладніше у статті Оператор замикання
Якщо задано операцію на множині S, то можна визначити замикання для будь-якої підмножини X.
Можна визначити на множині всіх підмножин S оператор замикання (відносно цієї операції) cl: 2S → 2S, що матиме такі властивості:
- екстенсивність: X ⊆ cl(X),
- монотонність: X ⊆ Y → cl(X) ⊆ cl(Y),
- ідемпотентність: cl(cl(X)) = cl(X).
