Факторгрупа

Факторгрупа — в теорії груп, група класів еквівалентності щодо деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактормножина, що має властивості групи.

Визначення

Нехай $G$ — група, і $H$ — її нормальна підгрупа, тобто для довільного $a\in G$ його класи суміжності збігаються:

$\ aH=Ha$

Тоді на класах суміжності $H$ в $G$ можна ввести множення:

$\ (aH)(bH)=abH$

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів в класах суміжності, тобто якщо $aH=a'H$ і $bH=b'H$, то $abH=a'b'H$. Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається факторгрупою $G$ по $H$.

Факторгрупа позначається $G/H$.

Властивості

• Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму $\varphi:G\to K$

$G / {\mathrm Ker}\, \varphi \cong \varphi (G)$,

тобто фактор групи $G$ по ядру ${\mathrm Ker} \varphi$ ізоморфний її образу $\varphi (G)$ в $K$.

• Відображенн $a \mapsto aH$ задає природний гомоморфізм $G \to G/H$.
• Порядок $G/H$ рівний індексу підгрупи $[G:H]$. В випадку скінченної групи $G$ він рівний $|G|/|H|$.
• якщо $G$ абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і $G/H$ буде мати такі ж властивості.
• $G/G$ ізоморфна тривіальній групі ($\{e\}$), $G/{e}$ ізоморфна $G$.

Приклади

• Нехай $G = \Z, \; H = 2\Z$, тоді $G/H$ ізоморфна $\Z_2$.
• Нехай $G = \mathbf{UT}_n$ група невироджених верхніх трикутних матриць, $H = \mathbf{SUT}_n$ группа верхніх унітрикутних матриць, тоді $G/H$ ізоморфна групі діагональних матриць.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Факторкільце
• Факторпростір

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Винберг Э.Б. (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва: Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7.