Піраміда (геометрія)

Неправильна шестигранна піраміда.

Пірамі́да — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими багатогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули

• Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює одній другій добутку периметра основи на апофему:

$S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 sin \alpha$

(тут $P$ — периметр, $l$ — апофема, $n$ — число сторін основи, $b$ — бокове ребро, $\alpha$ — кут при вершині піраміди)

• Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи на висоту.

$V = \frac{1}{3} S h,$

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

1. бокові ребра піраміди рівні;
2. бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
3. проекція вершини піраміди на площину її основи співпадає із центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

1. вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
2. двогранні кути при основі піраміди рівні;
3. вершина піраміди проеціюється до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.