Конформно-евклідова модель

Замощення площини Лобачевського правильними трикутниками.

Конфо́рмно-евклі́дова моде́ль або моде́ль Пуанкаре́ — модель простору Лобачевського. Існують різновиди моделі — в колі (стереографічна проєкція) і на півплощині для планіметрії Лобачевського, а також у кулі і в півпросторі — для стереометрії Лобачевського, відповідно.

Конформно-евклідова модель має таку назву тому, що гіперболічні кути дорівнюють відповідним кутам на евклідовій площині між відповідними півдотичними. Для проєктивної моделі, гіперболічні кути дорівнюють евклідовим кутам лише у виключних випадках, наприклад, така рівність є у початку координат проєктивної моделі.

Історія

Цю модель, як і проективну модель і модель псевдосфери, запропонував Еудженіо Бельтрамі. Метрику в конформно-евклідовій моделі використано також у знаменитій лекції Рімана «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», але зв'язок з геометрією Лобачевського виявив саме Бельтрамі. Згодом Анрі Пуанкаре виявив зв'язки цієї моделі з задачами теорії функцій комплексної змінної, що дало одне з перших серйозних застосувань геометрії Лобачевського.

Моделі в крузі і в кулі

Конформно-евклідова модель у крузі.

За площину Лобачевського приймається внутрішність круга (див. мал.) в евклідовому просторі; межа даного круга (коло) називається «абсолютом». Роль геодезичних ліній виконують дуги кіл $(a,\;b,\;b')$, перпендикулярних до абсолюту, і його діаметри; роль рухів — перетворення, одержувані комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими.

Метрика $ds$ площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі в одиничному крузі є:

$ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}),$

де $x$ і $y$ — вісь абсцис і ординат, відповідно.

Аналогічно, для конформно-евклідової моделі в кулі роль абсолюту виконує обмежувальна сфера в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевского є внутрішність кулі.

Відстані

У комплексних координатах на одиничному колі відстані можна обчислити за допомогою такої формули:

$\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {z-w}{1-z\cdot {\bar {w}}}}\right|.$

Відстань можна виразити через подвійне відношення. Якщо на дузі $w_{1}$, $z_{1}$ точки розташовано в такому порядку: $w_{1}$, $w$, $z$, $z_{1}$ то відстань між точками $w$ і $z$, у геометрії Лобачевського дорівнює

$d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}}{w-z_{1}}}\right)$.

Моделі на півплощині й у півпросторі

В моделі Пуанкаре в півплощині за площину Лобачевського приймається верхня півплощина. Пряма, що обмежує півплощину (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують півкола з центрами на абсолюті, що містяться в цій півплощині, і перпендикулярні до абсолюту промені, що починаються на ньому (тобто вертикальні промені). Роль рухів — перетворення, одержувані композицією скінченного числа інверсій із центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні до абсолюту.

Метрика $ds$ площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі у верхній півплощині має вигляд: $ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$, де $u$ і $v$ — прямокутні координати, відповідно паралельно і перпендикулярно до абсолюту.

Відповідно, в конформно-евклідовій моделі в півпросторі роль абсолюту виконує площина в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевського є півпростір, що лежить на цій площині.

Див. також

• Теорема Піка — інваріантна форма леми Шварца, що використовує відстані в конформно-евклідовій моделі.
• Ідеальний трикутник

Література

• Черников Н. А. Преобразование Боголюбова и планиметрия Лобачевского. Раздел 4, сравнение двух моделей Пуанкаре. ^{[недоступне посилання — історія]}
• Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6. [Архівовано 18 липня 2020 у Wayback Machine.]