Геометрія Лобачевського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Титульний аркуш книги Лобачевського

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за виключенням аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Евклідова аксіома про паралельні твердить:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.

Історія[ред.ред. код]

Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про Паралельні прямі, котра відома також як П'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:

  • давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двума паралельними),
  • Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляру до прямої описує прямую лінію),
  • іранський математик Омар Хайям (друга половина XI — початок XII ст.),
  • азербайджанський математик Насиреддин Тусі (XIII ст.) (Хайям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),
  • німецький математик К. Клавій (1574),
  • італійські математики
    • П. Катальді (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),
    • Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680),
  • англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в 1693) (Уолліс грунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).

Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.

Моделі геометрії Лобачевського[ред.ред. код]

Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.

Так як, всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні[1], тому твердження доведене в одній моделі геометрії Лобачевського , буде вірно в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.

Модель Клейна[ред.ред. код]

Прямі в моделі Клейна. Через точку P проходить нескінченно багато прямих, які не перетинають пряму a.

Точками моделі Клейна є внутрішні точки круга одиничного радіусу з центром у початку координат. Відстань між точками a і b визначається визначається за допомогою подвійного відношення, а саме як

 \frac 12\left|\ln {\left(\frac {x-a}{x-b}: \frac{y-a}{y-b}\right) }\right|

для інтервалу (x, y), де x і y — точки перетину прямої ab з граничною окружністю кола.

Зазначимо, що точки граничної окружності будуть нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського. Граничну окружність називають абсолютом або ідеальною межею.

У моделі Клейна прямими є хорди кола[2]. Тому в цій моделі зручно розглядати питання пов'язані з опуклими множинами геометрії Лобачевського.

Перша фундаментальна форма площини Лобачевського в моделі Клейна має вигляд[3]

  ds^2=\frac{(1-y^2)\,dx^2+2xy\,dx\,dy+(1-x^2)\,dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}.

Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного простору Лобачевського. Точками простору будуть внутрішні точки кулі одиничного радіусу та точно так само, як і на площині задається відстань подвійним відношенням.

Модель Пуанкаре в кулі[ред.ред. код]

Через точку площини проходять прямі, паралельні заданій прямій

Точками в моделі Пуанкаре в кулі \Delta^n будуть внутрішні точки кулі, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гранична сфера. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл та відрізки, ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть евклідові сфери, які лежать в кулі \Delta^n (зауважимо, що взагалі центри сфер зміщені відносно центрів евклідових сфер).

Це конформна модель геометрії Лобачевського, тобто кут між кривими в цій моделі збігається з евклідовим кутом.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре в кулі має вигляд[4]

 ds^2=\frac{4(dx_1^2+\dots+dx_n^2)}{(1-x_1^2-\dots-x_n^2)^2}.

Модель Пуанкаре у півпросторі[ред.ред. код]

Точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині \H^n будуть внутрішні точки півпростору \H^n=\{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n |\ x_n>0 \}, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гіперплощина x=0 \cup \infty. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл і промені ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть звичайні евклідові сфери.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд[5]

 ds^2=\frac{dx_1^2+\dots+dx_n^2}{x_n^2}.

Як і модель Пуанкаре в кулі, це також конформна модель геометрії Лобачевського. Існує конформне перетворення, яке перетворює одну модель в іншу.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Погорелов А. В., с. 84
  2. Прасолов В. В., Тихомиров В. М., с. 184
  3. Ефимов Н. В., с. 525
  4. Ефимов Н. В., с. 525
  5. Бердон А., с. 118

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бердон А. Геометрія дискретних груп = Геометрия дискретных групп: Пер. з англ.. — Москва: Наука, 1986. — 304 с.
  • Ефимов Н.В. Вища геометрія = Высшая геометрия. — Москва: Наука, 1978. — 576 с.
  • Погорелов А.В. Лекції з основ геометрії = Лекции по основаниям геометрии. — Харків: ХДУ, 1964. — 138 с.

Посилання[ред.ред. код]