Лема Шварца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.

Формулювання[ред. | ред. код]

Нехай  — одиничний круг на комплексній площині . Нехай функція голоморфна в і задовольняє умови:

  1. ;
  2. .

Тоді:

  1. ;
  2. .

Окрім того, якщо , для деякого ненульового або тоді для деякого комплексного числа для якого .

Доведення[ред. | ред. код]

Розглянемо функцію . Ця функція є голоморфною на множині .

Маємо також .

Визначивши , отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг для довільного . На границі цього круга, . З принципу максимуму модуля випливає, що також для всіх . Якщо тепер направити то в результаті одержуємо для всіх . Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності для (для так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення тому .

Якщо тепер для деякого ненульового виконується то Якщо тоді Оскільки для всіх то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу то маємо звідки

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9