Метод невизначених множників

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Знайти x і y, що максимізують f(x, y) за умови, що g(x, y) = c (показана червоним).

Метод невизначених множників або метод невизначених множників Лагранжа - метод знаходження умовного оптимуму, запропонований італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем. Метод дозволяє звести задачу на відшукання умовного оптимуму до задачі на знаходження безумовного оптимуму.

Задача[ред.ред. код]

Нехай потрібно знайти оптимум функції n змінних  F(x_1, x_2, \ldots, x_n) при s умовах

 g_i(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 , де  i = 1,2, \ldots, s .

Опис методу[ред.ред. код]

Вводячи s невизначених множників Лагранжа  \lambda_i , побудуємо функцію Лагранжа

 \Phi(x_1, x_2, \ldots, x_n, \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s) = F(x_1, x_2, \ldots, x_n) - \sum_{i=1}^s \lambda_i g_i(x_1, x_2, \ldots, x_n) .

Задача знаходження умовного оптимуму зводиться до розв'язування системи n+s рівнянь із n+s змінними:

 \frac{\partial \Phi(x_1, x_2, \ldots, x_n, \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s) }{\partial x_i} = 0, \qquad i = 1,2, \ldots, n  ,
 \frac{\partial \Phi(x_1, x_2, \ldots, x_n, \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s) }{\partial \lambda_j} = g_j(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0, \qquad j =1,2, \ldots, s .

Використання[ред.ред. код]

Метод невизначених множників Лагранжа широко використовується в математичній і теоретичній фізиці. За допомогою цього методу отримані рівняння Лагранжа першого роду, які дозволяють формально ввести сили реакції в фізичні задачі із в'язями. Невизначені множники Лагранжа використовує також варіаційний метод в квантовій механіці.

Приклад[ред.ред. код]

Задача[ред.ред. код]

Знайти прямокутник із найбільшою площею при заданому периметрі p.

Розв'язок[ред.ред. код]

Позначимо сторони прямокутника x та y. Потрібно знайти максимум функції

 S = xy

при умові

 2x+2y = p .

Вводимо множник Лагранжа  \lambda і шукаємо безумовний оптимум функції

 F(x,y, \lambda) = xy - \lambda(2x+2y -p)

Беручи похідні отримуємо систему рівнянь

 \frac{\partial F(x,y,\lambda)}{\partial x} = y - 2\lambda = 0
 \frac{\partial F(x,y,\lambda)}{\partial y} = x - 2\lambda = 0
 \frac{\partial F(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} = 2x+2y -p = 0

Підставляючи значення  y = 2\lambda та  x = 2\lambda в останнє рівняння, отримуємо

 \lambda = \frac{p}{8}
 x = y = \frac{p}{4} .
 S_{max} = \frac{p^2}{16}

Отже, найбільшу площу серед прямокутників із заданим периметром має квадрат.

Див. також[ред.ред. код]