Додатноозначена матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Додатно визначена матриця — частковий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.

Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям додатно визначеної квадратичної форми.

Визначення[ред.ред. код]

Ермітова матриця M \! є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:

  1. \forall x \in \mathbb{C}^n, \; x \ne 0: \;\; x^* M x > 0   (для ермітових матриць x^* M x \! — завжди дійсне число).
  2. Всі власні значення M \! є додатними числами.
  3. Задовольняє критерій Сільвестра.
  4. Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)
\langle \textbf{x,y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}
задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).

Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці[ред.ред. код]

  • Ермітова матриця M \! називається невід'ємно визначеною якщо
\forall x \in \mathbb{C}^n, \; x \ne 0: \;\; x^* M x \ge 0
Всі власні значення невід'ємно визначені матриці — невід'ємні числа.
  • Ермітова матриця M \! називається від'ємно визначеною якщо
\forall x \in \mathbb{C}^n, \; x \ne 0: \;\; x^* M x < 0
Всі власні значення від'ємно визначені матриці — від'ємні числа.

Властивості[ред.ред. код]

  • Всі додатно визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і в них існує обернена матриця.
  • Для будь-якої матриці M \!, матриці MM^*, M^*M \! — будуть невід'ємно визначені та матимуть одинакові власні значення.
  • Якщо M, N \! — додатно визначені матриці і r > 0 \! — додатне число, тоді матриці
rM,\; M+N,\; MNM,\; NMN \! — також є додатно визначеними матрицями.
І якщо \ M N = N Mпереставними), тоді M N\! — теж є додатно визначеною.
  • Якщо M \! — додатно визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.
M > 0 \iff \exist ! \; B > 0: \; B^2=M \!
Хоча можуть існувати не додатно визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]