Множина великих тригонометричних сум
Множина великих тригонометричних сум — поняття теорії чисел — множина індексів, у яких перетворення Фур'є характеристичної функції заданої підмножини групи набуває досить великих значень.
Для зручності викладу далі у статті використовується скорочення МВТС, хоча воно не є загальноприйнятим.
Визначення[ред. | ред. код]
У класичному методі тригонометричних сум часто буває потрібно оцінити зверху значення модуля суми для деякої підмножини циклічної групи. Якщо ця сума має малий модуль за всіх , то з цього можна зробити висновки про рівномірність розподілу серед неперервних відрізків лишків за модулем . Це виконується, наприклад, для множини квадратичних лишків[1] (і взагалі степеневих лишків[2]), дискретних логарифмів послідовних чисел[3] або (для простих ) виразів вигляду , де — обернений елемент відносно множення (суми Клоостермана)[4] .
Природно постає питання: якщо не для всіх розглянуті суми мають малий модуль, то для скількох цей модуль може бути дуже великим, і для яких саме наборів значень це може виконуватись? Наприклад, очевидно, що якщо це виконується для , то й для теж, але виникає питання існування інших таких загальних закономірностей, які залежать від природи множини .
Це питання широко розглянуто в адитивній комбінаториці, ідеєю якої і є виявлення закономірностей у структурі множин за мінімальних обмежень на них, а коефіцієнти Фур'є знаходять у ній широке застосування.
Визначення[ред. | ред. код]
Закономірності, що стосуються МВТС, розглядають, як правило, виходячи з двох параметрів — розміру основної множини та межі, за якою відокремлюють значення тригонометричних сум. Іноді для зручності межу на тригонометричні суми записують не в явному вигляді, а параметризують через її відношення до розміру множини (оскільки модуль суми, очевидно, ніколи не перевищує розміру множини). Через це, а також через відмінності нормування коефіцієнтів Фур'є, вирази у формулюваннях визначень і теорем у різних авторів можуть відрізнятися, але суть досліджуваних співвідношень залишається тією ж.
Нехай — натуральне число, , Нехай також означає -й коефіцієнт Фур'є (не нормований) характеристичної функції . Тоді множини великих тригонометричних сум з параметром визначаються (з точністю до параметра ) як |
Деякі прийоми вивчення[ред. | ред. код]
Наближення функції множиною[ред. | ред. код]
Для побудови прикладів множин, які мають МВТС з тими чи іншими властивостями, часто будують функції, які мають відповідні коефіцієнти Фур'є, а потім на цій підставі констатують існування множин, коефіцієнти Фур'є яких не сильно відрізняються від коефіцієнтів цих функцій[6][7][8]. Підстави для цього дає така лема, доведення якої перегукується з загальною лінійно-алгебричною ідеєю і виходить за рамки науки про МВТС:
Якщо , то існує множина розміру така, що [9] |
Фільтрування коефіцієнтів Фур'є[ред. | ред. код]
Для виведення загальних тверджень про МВТС деяких множин зручно використовувати[10] функції, утворені з індикаторної функції множини фільтруванням коефіцієнтів Фур'є за цією МВТС, тобто таку функцію , що
Виявляється, що в таких функцій більша частина суми значень також концентрується в .
Властивості[ред. | ред. код]
Розмір[ред. | ред. код]
З рівності легко виходить. що .
Для деяких значень ця оцінка досить точна за порядком зростання.
Приклад — квадратичні лишки[ред. | ред. код]
Якщо — множина квадратичних лишків за простим модулем , , то для оцінка перетворюється на нерівність близьку до .
За допомогою конструкції вигляду цю ідею можна узагальнити на МВТС із меншою відносно модуля межею на значення суми. При цьому між оцінкою та реальним розміром МВТС утворюється та сама різниця.
Приклад — послідовні числа[ред. | ред. код]
У прикладі з квадратичними лишками величина близька до фіксованої. Щоб знайти приклади із довільною величиною , достатньо розглянути множину , де .
Тоді (тобто напрямки векторів, відповідних , обмежені досить вузьким кутом) і тому , так що правильна оцінка знизу . Більш того, оскільки , то правильно навіть, що .
Однак при оцінка зверху перетворюється на нерівність .
Виходить що та оцінка зверху також точна до множення на сталу.
Структура[ред. | ред. код]
Ступінь структурованості МВТС у різних сенсах можна оцінити досить точно, коли вони досить великі. У разі коли вони мають малий розмір, МВТС можуть бути цілком довільними.
Адитивна енергія[ред. | ред. код]
З одного боку, МВТС допускають нижню оцінку на адитивну енергію будь-якої своєї підмножини.
Якщо , то [10] |
Достатньо в подібний спосіб оцінити енергію множини вигляду і підсумувати результати за значеннями
Для оцінки енергії використовують функцію, коефіцієнти Фур'є якої є коефіцієнтами , відфільтрованими за . Оскільки, із загальних міркувань, значення такої функції дуже насичені в , то достатньо за допомогою серії нерівностей Гельдера та операцій зі згортками оцінити цю насиченість через побудову і деякий множник, що залежить від (тобто, від ). Побудова ж , завдяки відніманню з (тобто, завдяки умові на оцінку зверху), оцінюється зверху через величину адитивної енергії (з деяким додатковим множником).
З іншого боку, за деяких додаткових (не надто сильних) умов на параметри існує множина , для якої правильна і верхня оцінка , причому [11]. Це говорить про те, що іноді МВТС можуть бути все-таки досить великими та безструктурними одночасно.
Для побудови використовують множину , яка має особливим способом посилену властивість дисоціативності.
Саму множину визначають як об'єднання зсувів різних арифметичних прогресій із різницями , причому зсуви вибирають так, щоб кожна нова прогресія, що додається до множини, мала з уже побудованою множиною якнайменший перетин.
МВТС такої множини містить об'єднання такої ж кількості інших арифметичних прогресій (що дозволяє говорити про її великий розмір) і водночас сама міститься в об'єднанні тих самих арифметичних прогресій, лише подовжених в обидва боки (а це дозволяє із загальних комбінаторних міркувань вивести, що її адитивна енергія не велика).У випадку, коли має найбільший можливий розмір, ці оцінки (якщо першу розглядати для ) збігаються з точністю до сталої, яка залежить від . Тобто, для досить широкого класу значень параметрів існують множини, міра структурованості МВТС яких визначена майже однозначно, причому їхні МВТС виявляються тим більш безструктурними, чим більше в них елементів (чим більша різниця між і ).
Адитивна розмірність[ред. | ред. код]
Інша досліджувана характеристика — адитивна розмірність МВТС, тобто розмір найбільшої дисоціативної множини, що міститься в ньому. Далі цю величину позначено як .
Чанг 2002 року довела, що [12][13]. Основу доведення становило застосування нерівності Рудіна до функції, утвореної з індикаторної функції множини фільтруванням коефіцієнтів Фур'є .
Разом з тим, Грін 2003 року показав, що за умов
існує множина , для якої [14][7].
Тобто, розглядаючи досить великі значення сум, адитивну розмірність МВТС можна оцінити досить точно.
Довільність[ред. | ред. код]
Якщо МВТС досить мала, порівняно зі своїм найбільшим можливим розміром, то загальна оцінка на адитивну енергію виявляється тривіальною, тобто не дозволяє нічого сказати про внутрішню структуру множини.
Виявляється, що в цьому випадку про неї нічого сказати і не можна — тобто довільна множина може бути малою МВТС.
Теорема (Шкредов) Якщо то і [6] |
Достатньо розглянути функцію таку, що
і застосувати лему про наближення її коефіцієнтів Фур'є через коефіцієнти Фур'є індикаторної функції множини.
Основним обмеженням тут є — інші зумовлені загальною природою тригонометричних сум.
Обмеження на розмір можна ослабити до , якщо додати умову на те, що має деяку властивість, яка є варіацією дисоціативності[15].
Зв'язок між МВТС різних множин[ред. | ред. код]
МВТС множин розміру (половина розміру групи) у певному сенсі покривають структуру решти МВТС.
Теорема (Грін) Якщо , то для будь-якого існує таке, що і [8] |
Узагальнення[ред. | ред. код]
МВТС можуть вивчатися не тільки для циклічних, але й для будь-яких груп, якщо правильно узагальнити поняття коефіцієнта Фур'є[16].
Наприклад, для будь-кого та множини її -МВТС містить у собі підгрупу розміру (останній вираз означає тетрацію)[17].
Застосування[ред. | ред. код]
Чанг застосувала оцінки на адитивну розмірність МВТС для поліпшення оцінок у теоремі Фреймана[13].
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Сегал, 1946, с. 151.
- ↑ Сегал, 1946, с. 159—160.
- ↑ Сегал, 1946, с. 163.
- ↑ Королёв, 2016, с. 81—82.
- ↑ Шкредов, 2008, с. 161.
- ↑ а б Шкредов, 2007, с. 109, речення 2.1.
- ↑ а б Грин, 2003, с. 131—133, леми 3.2, 3.3.
- ↑ а б Грин, 2003, с. 129, лема 2.3.
- ↑ Грин, 2003, с. 129, лема 2.2.
- ↑ а б Шкредов, 2008, с. 163, теорема 5.
- ↑ Шкредов, 2007, с. 118, теорема 2.11.
- ↑ Шкредов, 2008, с. 162, теорема 1 (без доведення).
- ↑ а б Чанг, 2002.
- ↑ Шкредов, 2008, с. 162, теорема 4 (без доведення).
- ↑ Шкредов, 2007, с. 112, пропозиція 2.9.
- ↑ Шкредов, 2007, с. 108.
- ↑ Грин, 2005, с. 345, теорема 2.1.
Література[ред. | ред. код]
- Б. И. Сегал. Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел // Успехи математических наук. — 1946. — Вып. 3—4 (13-14) (21 апреля). — С. 147—193.
- М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана // Чебышевский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4 (21 апреля). — С. 79—109.
- И. Д. Шкредов. Некоторые примеры множеств больших тригонометрических сумм // Математический сборник. — 2007. — Т. 198, вып. 12 (21 апреля). — С. 105—140.
- И. Д. Шкредов. О множествах больших тригонометрических сумм // Известия РАН, серия математика. — 2008. — Т. 72, вып. 1 (21 апреля). — С. 161—182.
- Mei-Chu Chang. A polynomial bound in Freiman's theorem // Duke Mathematical Journal. — 2002. — Vol. 113, iss. 3 (21 April). — P. 399—419.
- Ben Green. Some Constructions in the Inverse Spectral Theory of Cyclic Groups // Combinatorics, Probability and Computing. — 2003. — Vol. 12, iss. 2 (21 April). — P. 127-138.
- Ben Green. A Szemerédi-type regularity lemma in abelian groups, with applications // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2005. — Vol. 15, iss. 2 (21 April). — P. 340-376.