Правило паралелограма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Паралелограм.

В Евклідовій геометрії[ред.ред. код]

Сума квадратів довжин сторін паралелограма рівна сумі квадратів довжин його діагоналей.

\ (AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.

В просторах зі скалярним добутком[ред.ред. код]

Parallelogram law.PNG

В векторних просторах зі скалярним добутком, це правило виглядає так:

\ 2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2

де

\ \|x\|^2=\langle x, x\rangle.

В нормованих просторах[ред.ред. код]

В нормованих векторних просторах де немає векторного добутку, але є норма (за визначенням), якщо вона задовільняє правило паралелограма, то для цього простору можна ввести скалярний добуток:

для дійсного простору

\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}, або {\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2}, або  {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.

для комплексного простору

\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+i{\|ix-y\|^2-\|ix+y\|^2\over 4}.

Вищенаведені формули називаються поляризаційною тотожністю.

Зрозуміло, що норма визначена через скалярний добуток наступним чином \ \|x\|^2=\langle x, x\rangle задовільнятиме ці тотожності.

Поляризаційна тотожність[ред.ред. код]

Поляризаційна тотожність часто використовується для перетворення банахових просторів в гільбертові.

Узагальнення[ред.ред. код]

Якщо Bсиметрична білінійна форма в векторному просторі, а квадратична форма Q визначена як

\ Q(v) = B(v,v)

тоді


\begin{array}{l}
4 B(u,v) = Q(u+v) - Q(u-v), \\
2 B(u,v) = Q(u+v) - Q(u) - Q(v), \\
2 B(u,v) = Q(u) + Q(v) - Q(u-v).
\end{array}