Квадратична форма

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Ось приклади квадратичних форм від однієї, двох і трьох змінних:

$\ Q(x) = ax^2,$

$\ Q(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy,$

$\ Q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz.$

Канонічна форма

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: $\ Q(x) = \sum_{i} \lambda_i x_i^2$.

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа).

Координатне представлення

За аналогією з білінійними формами, можна розглядати квадратичну форму як відображення векторного простору $\ V$ в скалярне поле $\ F$:

$\ Q: V \to F,$

• Якщо $\ (e_1, \ldots, e_n)$ — деякий базис лінійного простору $\ V,$ то квадратична форма буде представлена як:

$Q(\textbf{x}) = \textbf{x}^{\mathrm{T}}A\textbf{x} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j$

де $\ A$ — симетрична матриця з елементами $\ a_{ij}=a_{ji}$.

• Якщо $\ (e'_1 \ldots e'_n) = (e_1 \ldots e_n) S$ деякий інший базис в $\ V,$ де $\ S$ — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

$\ A' =S^{T} A S.$

Пов'язані визначення

• Симетричну білінійну форму A(x, y), називають полярною до квадратичної форми A(x, x).

Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї білінійної форми в тому ж базисі.

• Квадратична форма $\ Q(x)$ називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо $\forall x\neq 0: \;\; Q(x)>0 \quad (Q(x)<0).$

Симетрична білінійна форма

• Маючи білінійну форму $\ B(x,y)$ можна отримати квадратичну форму підставивши $\ y=x$ :

$\ Q(x) = B(x,x).$

• І навпаки, маючи квадратичну форму $\ Q$, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

$B(u,v) = \frac14\left(Q(u+v) - Q(u-v)\right).$

Критерій Сильвестра

• Квадратична форма є додатньо визначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
• Квадратичная форма є від'ємно визначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Закон інерції

• Закон інерції: кількість нульових, позитивних та негативних елементів $\ \lambda_i$ в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.

• Якщо на діагоналі присутні нульові елементи (отже матриця має неповний ранг), то така квадратична форма називається виродженою.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
• Гельфанд И.М. (1971). Лекции по линейной алгебре (вид. четверте). Москва: Наука. с. 271. ISBN 5791300158.