Квадратична форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Ось приклади квадратичних форм від однієї, двох і трьох змінних:

\ Q(x) = ax^2,
\ Q(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy,
\ Q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz.

Канонічна форма[ред.ред. код]

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: \ Q(x) = \sum_{i} \lambda_i x_i^2 .

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа).

Координатне представлення[ред.ред. код]

За аналогією з білінійними формами, можна розглядати квадратичну форму як відображення векторного простору \ V в скалярне поле \ F:

\ Q: V \to F,
  • Якщо \ (e_1, \ldots, e_n) — деякий базис лінійного простору \ V, то квадратична форма буде представлена як:
Q(\textbf{x}) = \textbf{x}^{\mathrm{T}}A\textbf{x} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j

де \ A — симетрична матриця з елементами \ a_{ij}=a_{ji}.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

\ A' =S^{T} A S.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Симетричну білінійну форму A(x, y), називають полярною до квадратичної форми A(x, x).

Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї білінійної форми в тому ж базисі.

Симетрична білінійна форма[ред.ред. код]

\ Q(x) = B(x,x).
  • І навпаки, маючи квадратичну форму \ Q, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
B(u,v) = \frac14\left(Q(u+v) - Q(u-v)\right).

Критерій Сильвестра[ред.ред. код]

  • Квадратична форма є додатньо визначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
  • Квадратичная форма є від'ємно визначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Закон інерції[ред.ред. код]

  • Закон інерції: кількість нульових, позитивних та негативних елементів \ \lambda_i в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.
  • Якщо на діагоналі присутні нульові елементи (отже матриця має неповний ранг), то така квадратична форма називається виродженою.

Джерела[ред.ред. код]