Розклад Шура

Розклад Шура — представлення квадратної матриці $\ A$ з комплексними коефіцієнтами у вигляді

$\ A = U R U^*,$

де U — унітарна матриця, R — верхня трикутна матриця.

Властивості

• Очевидно, що матриця $\ R$ подібна до матриці $\ A$, отже в них всі власні значення збігаються, а оскільки $\ R$ — трикутна, то вони знаходяться в неї на головній діагоналі.

• Матриця $\ A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриця $\ R$ в розкладі Шура буде діагональною. Отже для нормальних матриць спектральний розклад та розклад Шура збігаються.

• Якщо квадратні матриці $\ A, B$ є переставними, то їх можна привести до трикутного вигляду одною унітарною матрицею:

$\exists \; U, R_1, R_2: \quad A=U R_1 U^*, \quad B=U R_2 U^*.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць.

• Наслідком з попередньої властивості є одночасна діагоналізація переставних нормальних матриць (див. Переставні матриці).

Узагальнений розклад Шура

Квадратні матриці $\ A, B$ можуть бути представлені у вигляді:

$\ A=Q R_1 Z^*, \quad B=Q R_2 Z^*$

де

$\ Q,Z$ — унітарні матриці,

$\ R_1, R_2$ — верхні трикутні матриці.

Ще відомий під назвою QZ-розклад. Узагальнює сингулярний розклад матриці.

Дивись також

• Теорія матриць
• Розклад матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). «IX». Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.