Рівноприскорений рух

Рівноприскорений рух у полі тяжіння Землі. На малюнку видно, що переміщення складається з прямолінійного рівномірного руху і вільного падіння

Рівноприскорений рух — найпростіший вид механічного руху, при якому прискорення залишається сталим. Частковим випадком рівноприскореного руху є рівносповільнений рух, який відбувається тоді, коли напрямки початкової швидкості і прискорення протилежні.

Прикладом такого руху є політ в однорідному полі сили тяжіння каменя, кинутого під кутом $\alpha$ до горизонту за умови, що опором повітря можна знехтувати: камінь летить зі сталим прискоренням ${\vec {a}}={\vec {g}}$, спрямованим вертикально вниз.

Траєкторія має вигляд ділянки параболи або прямої.

Загальна формула:

${\vec {a}}={\frac {{\vec {v}}-{\vec {v}}_{0}}{t}}$,

де ${\vec {a}}$ — прискорення (визначається в SI в м/с²), ${\vec {v}}$ — кінцева швидкість, ${\vec {v}}_{0}$ — початкова швидкість, $t$ — час.

Формули швидкості та шляху для прискореного руху:

1) при одновимірному рівноприскореному русі швидкість тіла змінюється з часом лінійно за законом:

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t\$;

2) формула координати тіла:

$x=x_{0}+v_{0x}t+{\frac {1}{2}}a_{x}t^{2}$;

3) формула проєкції переміщення:

${\textstyle s_{x}=v_{0x}t+{\frac {1}{2}}a_{x}t^{2}}$;

4) формула проєкції переміщення, якщо $t$ невідомий:

$s_{x}={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a}}$

Характер рівноприскореного руху

Рівноприскорений рух відбувається в площині, що містить вектори прискорення ${\vec {a}}$ і початкової швидкості ${\vec {v}}_{0}$. З урахуванням того, що ${\vec {v}}={\rm {d}}{\vec {r}}/{\rm {d}}t$ (тут ${\vec {r}}$ — радіус-вектор), траєкторію описує вираз

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}$.

На заданому інтервалі часу вона являє собою ділянку параболи, яка за паралельності (тобто спів- або проти-спрямованості) векторів ${\vec {a}}$ і ${\vec {v}}_{0}$ перетворюється на відрізок прямої.

Для кожної з координат, скажімо $y$, можна записати вирази аналогічної структури:

$y(t)=y_{0}+v_{0y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}$,

де $a_{y}$ — складова прискорення вздовж осі $y$, а ${\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}$ — радіус-вектор матеріальної точки в момент $t=0$ (${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$ — орти).

У прикладі з каменем $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$, компоненти прискорення $a_{x}=a_{z}=0$, $a_{y}=-g$, початкова швидкість $v_{x0}=v_{0}\cos \alpha$, $v_{y0}=v_{0}\sin \alpha$, $v_{z0}=0$, при цьому $x(t)=v_{0x}t$, а отже, $y=\operatorname {tg} \alpha \cdot x-g/2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \cdot x^{2}$.

Переміщення і швидкість

У разі рівноприскореного руху будь-яка з компонент швидкості, наприклад $v_{x}$, залежить від часу лінійно:

$v_{x}=v_{0x}+a_{x}t$.

При цьому зв'язок між переміщенням ($\Delta x=x-x_{0}$) вздовж координати $x$ і швидкістю вздовж тієї ж координати такий:

$\Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}$.

Звідси можна отримати вираз для $x$- складової кінцевої швидкості тіла за відомих $x$-складових початкової швидкості і прискорення:

$v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}$.

Якщо $a_{x}=0$, то $v_{x}=v_{ox}$, а $\Delta x=v_{0x}t$.

Вирази для зміщень $\Delta y$, $\Delta z$ і компонент швидкості вздовж координат $y$ і $z$ набувають такого ж вигляду, як для $\Delta x$ і $v_{x}$, але символ $x$ усюди слід замінити на $y$ або $z$.

У підсумку, за теоремою Піфагора, модуль переміщення буде

$|\Delta {\vec {r}}|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}$,

а модуль кінцевої швидкості знайдемо як

$|{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$.

Рівноприскорений рух не може відбуватися необмежено довго: це означало б, що, починаючи з якогось моменту часу $t$, модуль швидкості тіла $|{\vec {v}}|$ перевищить величину швидкості світла у вакуумі $c$, що виключено теорією відносності.

Умова здійснення

Рівноприскорений рух реалізується, коли на тіло (матеріальну точку) діє стала сила ${\vec {F}}$, зазвичай в однорідному гравітаційному або електростатичному полі, якщо величина швидкості тіла значно менша, ніж швидкість світла $c$. Тоді, за другим законом Ньютона, прискорення буде

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}},$

де через $m$ — маса тіла. У прикладі з каменем роль ${\vec {F}}$ відіграє сила тяжіння.

Якщо ж швидкість тіла порівнянна зі швидкістю світла, то закон Ньютона в наведеному вигляді непридатний. При цьому, в разі дії сталої сили, відбувається так званий релятивістський рівноприскорений рух, за якого сталим є тільки власне прискорення, а прискорення у фіксованій інерційній системі відліку наближається з часом до нуля в міру наближення величини швидкості до її межі $c$.

Теорема про кінетичну енергію точки

Формула переміщення при рівноприскореному русі використовується для доведення теореми про кінетичну енергію. Для цього слід перенести прискорення в ліву частину і домножити обидві частини на масу тіла:

$ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}$.

Записавши аналогічні співвідношення для координат $y$ і $z$ і підсумувавши всі три рівності, отримаємо співвідношення:

${\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}$.

Зліва стоїть робота сталої рівнодійної сили ${\vec {F}}$, а праворуч — різниця кінетичних енергій у кінцевий і початковий моменти руху. Отримана формула являє собою математичний вираз теореми про кінетичну енергію точки для випадку рівноприскореного руху.

Рівнозмінний рух

Рівнозмінним називають рух, за якого тангенціальна (паралельна швидкості) складова прискорення стала. Такий рух не є рівноприскореним, крім ситуації, коли він відбувається вздовж прямої, але в математичному плані його можна розглянути аналогічно.

У цьому випадку вводиться узагальнена координата $S$, яку часто називають шляхом, що відповідає довжині пройденої траєкторії (довжині дуги кривої). Таким чином, формула набуває вигляду:

$\Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}$,

де $a_{\tau }$ — тангенціальне прискорення, яке «відповідає» за зміну модуля швидкості тіла. Для швидкості маємо:

$v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}$.

При $a_{\tau }=0$ маємо рух зі сталою за модулем швидкістю.

Іноді прикметник рівнозмінний замінюють на криволінійний равноприскорений, що вносить плутанину, оскільки, скажімо, рівноприскорений рух каменя по кривій (параболе) в поле тяжіння не рівнозмінний.

Див. також

• Релятивістський рівноприскорений рух