Парабола

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Parabola.svg

Пара́бола (від грец. παραβολή) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку.

Точка зветься фокусом, а пряма — директрисою.

Парабола, гіпербола та еліпс є конічними перерізами. Парабола є конічним перерізом з одиничним ексцентриситетом. Якщо точкове джерело світла розміщене у фокусі параболоїдного дзеркала, то відбиті від поверхні промені будуть розповсюджуватися паралельно.

Графік функції, що задається за допомогою поліному другого порядку від однієї змінної являє собою параболу.

Рівняння[ред.ред. код]

Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:

\textstyle y^2=2px (або \textstyle x^2=2py, якщо поміняти місцями осі).

Квадратне рівняння ~y=ax^2+bx+c при ~a\neq 0 також являє собою параболу і графічно зображаєтся тією ж параболою, що і ~y=ax^2, але на відміну від останньої має вершину не в початку координат, а в деякій точці ~A, координати якої обчислюються за формулами :

~x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=:-\frac{D}{4a}

Рівняння ~y=ax^2+bx+c може бути представлено у вигляді ~y=a(x-x_A)^2+y_A, а у випадку переносу початку координат в точку ~A канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.


Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння[ред.ред. код]

Якщо для рівняння ~y = ax^2 + bx + c відомі координати 3-х різних точок його графіка ~(x_{1}; y_{1}), ~(x_{2}; y_{2}), ~(x_{3}; y_{3}), то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:

~a=\frac{y_{3}-\frac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}

Властивості[ред.ред. код]

  • Парабола — крива другого порядку.
  • Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
  • Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.
  • Для параболи  ~ y ^ 2 = x фокус знаходиться в точці (0,25; 0).
  • Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.
  • Парабола є антиподерою прямій.
  • Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.
  • При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.
  • Еволютою параболи є напівкубічна парабола.

Побудова[ред.ред. код]

Файл:Parabola01.gif
Побудова параболи

Параболу y=ax2+bx+с будують за алгоритмом (через п'ять основних точок):
1.Визначити напрям рогів параболи за знаком першого коефіцієнта: a>0 — роги направлені вверх. Якщо a<0, то роги параболи направлені вниз.
2.Обчислити координати вершини параболи x0= -b/2a і y0=y(x0)
3.Відмітити вершину параболи на координатній площині і через неї провести ось симетрії параболи x=x0
4.Знайти точку перетину параболи з віссю OY (0;с) і відмітити їй симетричну
5.Розв'язати квадратне рівняння ax2+bx+с=0 і відмітити точки на осі OX (x1;0) (x2;0)
6.через відмічені п'ять точок провести параболу
Параболу можна побудувати «по точках», не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директрисою. На директрисі задається довільна система відліку з потрібним одиничним відрізком. Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельна осі параболи.

Параболічні будови у природі, техніці та архітектурі[ред.ред. код]

Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зірки або іншого масивного об'єкта на досить великий швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості і малої маси не захоплюються гравітаційним полем зірки і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).

При відсутності опору повітря траєкторія польоту тіла в наближенні однорідного гравітаційного поля є параболою.

При обертанні посудини з рідиною навколо вертикальної осі поверхню рідини в посудині і вертикальна площину перетинаються по параболі.

Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо …), в конструкції вузьконаправлених (супутникових та інших) антен, необхідних для передачі даних на великі відстані, сонячних електростанцій і в інших областях.

Форма параболи іноді використовується в архітектурі для будівництва дахів і куполів.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]