Символи Крістофеля

Символи Крістофеля (позначаються $\Gamma^k_{ij}$) — це коефіцієнти компенсаційного доданка, який зменшує вплив викривлення системи координат на диференціювання векторів та тензорів. Існує також альтернативна назва для символів Крістофеля — коефіцієнти афінної зв'язності.

Символи Крістофеля не є тензором, бо не підкоряються тензорному правилу переходу в іншу систему координат.

---

Розглянемо $n$-вимірний многовид, вміщений в $N$-вимірний евклідовий простір ($N \ge n$). Точки евклідового простору будемо зображати радіус-вектором $\mathbf{r}$, який в прямокутних декартових координатах має вигляд:

$(1) \qquad \mathbf{r} = \left\{ x^1, x^2, \dots, x^N \right\}$

Многовид в цьому просторі задається параметрично вектор-функцією:

$(2) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n)$

Параметри $u^1, u^2, \dots u^n$ є координатами на многовиді. Часткові похідні радіус-вектора по цих координатах будуть дотичними векторами до многовиду і утворюють базис в дотичному афінному підпросторі евклідового простору.

$(3) \qquad \mathbf{r}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial u^i}$

Розглянемо другу похідну $\mathbf{r}_{ij}$ радіус-вектора многовида по параметрах. Це є вектор, який можна розкласти на два вектори - дотичний до многовиду $\mathbf{a}_{ij}$ і перпендикулярний $\mathbf{b}_{ij}$:

$(4) \qquad \mathbf{r}_{ij} = {\partial^2 \mathbf{r} \over \partial u^i \partial u^j} = \mathbf{a}_{ij} + \mathbf{b}_{ij}$

Дотичний вектор можна розкласти за базисом $\mathbf{r}_k$:

$(5) \qquad \mathbf{a}_{ij} = \Gamma^k_{ij} \mathbf{r}_k$

Коефіцієнти розкладу (числа $\Gamma^k_{ij}$) вивчав німецький математик Елвін Бруно Крістофель, тому вони називаються символами Крістофеля.

Ми можемо формули (4) і (5) зібрати в одну формулу:

$(6) \qquad \mathbf{r}_{ij} = \Gamma^s_{ij} \mathbf{r}_s + \mathbf{b}_{ij}$

Символи Крістофеля першого роду

Помножимо рівність (6) скалярно на базисний вектор $\mathbf{r}_k$, і врахуємо ортогональність вектора $\mathbf{b}_{ij}$:

$(7) \qquad (\mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_k) = \Gamma^s_{ij} (\mathbf{r}_s \cdot \mathbf{r}_k) = g_{ks} \Gamma^s_{ij}$

в останньому виразі ми використали позначення метричного тензора $g_{ij}$, який виражається через скалярні добутки базисних векторів. Одержані в правій частині цієї рівності величини називаються символами Крістофеля першого роду, і позначаються тією ж великою літерою «гамма», але з опущеним індексом (і відокремленим комою, щоб підкреслити його особливість у порівнянні з двома іншими індексами):

$(8) \qquad \Gamma_{ij, k} = g_{ks} \Gamma^s_{ij} = (\mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_k)$

Ми можемо також навпаки, виразити звичайні символи Крістофеля (які називаються аналогічно символами Крістофеля другого роду) через символи Крістофеля першого роду, домноживши (8) на обернений метричний тензор $g^{pk}$:

$(9) \qquad \Gamma^p_{ij} = \delta^p_s \Gamma^s_{ij} = g^{pk} g_{ks} \Gamma^s_{ij} = g^{pk} \Gamma_{ij, k}$

Симетрія по нижніх індексах

Внаслідок теореми про рівність змішаних похідних $\mathbf{r}_{ij} = \mathbf{r}_{ji}$ і з рівності (8) ми одержуємо, що символи Крістофеля першого роду симетричні по перших двох індексах:

$(10) \qquad \Gamma_{ij, k} = \Gamma_{ji, k}$

Те саме стосується символів Крістофеля з верхнім індексом внаслідок (9), дійсно:

$(11) \qquad \Gamma^p_{ji} = g^{pk} \Gamma_{ji, k} = g^{pk} \Gamma_{ij, k} = \Gamma^p_{ij}$

Зв'язок з метричним тензором

Візьмемо частинну похідну від компоненти метричного тензора (яка, як відомо, дорівнює скалярному добутку базисних векторів):

$(12) \qquad {\partial g_{ij} \over \partial u^k} = {\partial \over \partial u^k} (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j) = (\mathbf{r}_{ki} \cdot \mathbf{r}_j) + (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_{kj})$

Для спрощення запису подальших формул, введемо наступне позначення оператора частинної похідної:

$(13) \qquad \partial_k = {\partial \over \partial u^k}$

Тоді з формул (12) і (8) маємо формулу, яка виражає похідні метричного тензора через символи Крістофеля першого роду:

$(14) \qquad \partial_k g_{ij} = \Gamma_{ki, j} + \Gamma_{kj, i}$

Можна також і навпаки, виразити символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього з формули (14) утворимо ще дві еквівалентні формули, циклічно переставляючи індекси $(ijk)$:

$(14a) \qquad \partial_i g_{jk} = \Gamma_{ij, k} + \Gamma_{ik, j}$

$(14b) \qquad \partial_j g_{ki} = \Gamma_{jk, i} + \Gamma_{ji, k}$

Якщо додати дві останні формули і від суми відняти (14), одержимо з врахуванням симетрії символів Крістофеля:

$(15) \qquad \partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} = 2 \Gamma_{ij, k}$

звідки одержуємо формули для символів Крістофеля:

$(17) \qquad \Gamma_{ij, k} = {1 \over 2} \left ( \partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} \right )$

$(18) \qquad \Gamma^s_{ij} = {1 \over 2} \, g^{sk} \left ( \partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} \right )$

Ми бачимо, що символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора, а тому є поняттям внутрішньої геометрії многовиду і системи координат у многовиді.

Формули згорток

Із формули (18) можна обчислити згортки символів Крістофеля:

$(19) \qquad \Gamma^s_{is} = {1 \over \sqrt{g}} \partial_i \sqrt{g}$

$(20) \qquad g^{ij} \Gamma^s_{ij} = - {1 \over \sqrt{g}} \partial_i \left ( \sqrt{g} g^{is} \right )$

де буквою без індексів $g$ позначено визначник матриці метричного тензора $(g_{ij})$. Вивід цих формул дивіться тут.

Перехід в іншу систему координат

Нехай на многовиді окрім параметрів $\{ u^1, u^2, \dots u^n \}$ задано також інший набір параметрів $\{\hat u^1, \hat u^2, \dots \hat u^n \}$, які задають іншу систему координат.

Введемо такі позначення для (взаємно обернених) матриць переходу між цими системами координат:

$(21) \qquad \alpha^i_j = {\partial \hat u^i \over \partial u^j}; \qquad \beta^i_j = {\partial u^i \over \partial \hat u^j}$

Базисні вектори в новій системі координат виражаються через старий базис за тензорним законом:

$(22) \qquad {\hat \mathbf{r}}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial {\hat u}^i} = {\partial u^k \over \partial {\hat u}^i} {\partial \mathbf{r} \over \partial u^k} = \beta^k_i \mathbf{r}_k$

Знайдемо, як виглядатиме формула (6) в новій системі координат. Спершу обчислюємо другу похідну:

$(23) \qquad {\hat \mathbf{r}}_{ij} = {\partial \over \partial {\hat u}^i} {\partial \mathbf{r} \over \partial {\hat u}^j} = {\partial \over \partial {\hat u}^i} \left ( \beta^k_j \mathbf{r}_k \right ) = \left ( {\partial \over \partial {\hat u}^i} \beta^k_j \right ) \mathbf{r}_k + \beta^k_j {\partial \over \partial {\hat u}^i} \mathbf{r}_k = {\partial^2 u^k \over \partial {\hat u}^i \partial {\hat u}^j} \mathbf{r}_k + \beta^k_j \beta^l_i \mathbf{r}_{kl}$

В останньому доданку розпишемо $\mathbf{r}_{kl}$ за формулою (6):

$(24) \qquad {\hat \mathbf{r}}_{ij} = {\partial^2 u^k \over \partial {\hat u}^i \partial {\hat u}^j} \mathbf{r}_k + \beta^k_j \beta^l_i \left (\Gamma^p_{kl} \mathbf{r}_p + \mathbf{b}_{kl} \right )$

У формулі (24) зберемо докупи доданки з дотичними до многовиду векторами $\mathbf{r}_k$, перейменувавши при потребі індекси за якими іде згортка, і окремо виділимо ортогональний доданок:

$(25) \qquad {\hat \mathbf{r}}_{ij} = \left ( {\partial^2 u^k \over \partial {\hat u}^i \partial {\hat u}^j} + \beta^p_i \beta^q_j \Gamma^k_{pq} \right ) \mathbf{r}_k + \beta^k_i \beta^l_j \mathbf{b}_{kl}$

Запишемо для порівняння також формулу (6) у новій системі координат.

$(26) \qquad {\hat \mathbf{r}}_{ij} = {\hat \Gamma}^s_{ij} {\hat \mathbf{r}}_s + {\hat \mathbf{b}}_{ij} = {\hat \Gamma}^s_{ij} \beta^k_s \mathbf{r}_k + {\hat \mathbf{b}}_{ij}$

Із формул (25) і (26) ми можемо зробити два висновки. По-перше, вектори повної кривини $\mathbf{b}_{ij}$ при заміні координат змінюються за тензорним законом:

$(27) \qquad {\hat \mathbf{b}}_{ij} = \beta^k_i \beta^l_j \mathbf{b}_{kl}$

А по-друге, символи Крістофеля змінюються за таким правилом:

$(28) \qquad {\hat \Gamma}^s_{ij} \beta^k_s = {\partial^2 u^k \over \partial {\hat u}^i \partial {\hat u}^j} + \beta^p_i \beta^q_j \Gamma^k_{pq}$

яке можна переписати, виразивши символи Крістофеля в новій системі координат:

$(29) \qquad {\hat \Gamma}^s_{ij} = \alpha^s_k \left ( {\partial^2 u^k \over \partial {\hat u}^i \partial {\hat u}^j} + \beta^p_i \beta^q_j \Gamma^k_{pq} \right )$

Цей закон перетворення не тензорний, завдяки наявності доданка другої похідної. Як наслідок, для довільного многовида і окремо взятої точки на многовиді можна підібрати таку систему координат, що всі символи Крістофеля стануть нульовими.

Обчислення символів Крістофеля в евклідовому просторі

Нехай нашим многовидом буде евклідовий простір (з нульовим тензором Рімана), в якому задана декартова система координат $u^1, u^2, \dots u^n$ і криволінійна система координат $\{\hat u^1, \hat u^2, \dots \hat u^n \}$. У декартових координатах всі символи Крістофеля $\Gamma^k_{pq}$ тотожно дорівнюють нулю. А для символів Крістофеля в криволінійній системі координат внаслідок (29) одержуємо наступну формулу:

$(30) \qquad \hat \Gamma^s_{ij} = \alpha^s_k {\partial^2 u^k \over \partial \hat u^i \partial \hat u^j} = \alpha^s_k {\partial \over \partial \hat u^i} \beta^k_j = {\partial \over \partial \hat u^i} \left ( \alpha^s_k \beta^k_j \right ) - \beta^k_j {\partial \over \partial \hat u^i} \alpha^s_k = - \beta^k_j \beta^l_i {\partial \over \partial u^l} \alpha^s_k$

або

$(31) \qquad \hat \Gamma^s_{ij} = - \beta^k_j \beta^l_i {\partial \hat u^s \over \partial u^k \partial u^l} = - {\partial u^k \over \partial \hat u^j} {\partial u^l \over \partial \hat u^i} {\partial \hat u^s \over \partial u^k \partial u^l}$

При обчисленні формули (30) ми врахували взаємну оберненість матриць:

$(32) \qquad \alpha^s_k \beta^k_j = \delta^s_j$

і те, що похідна від константи $\delta^s_j$ дорівнює нулю.