Складні відсотки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Складні відсотки - це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за базу береться нарощена сума попереднього періоду.

Математика відсоткової ставки[ред.ред. код]

Спрощене обчислення[ред.ред. код]

У формулі нижче, i — це фактична відсоткова ставка за період. FV і PV представляють майбутнє та поточне значення суми. n представляє кількість періодів.

Ось найбазовіша формула:

 FV = PV ( 1+i )^n\,

Наведене рівняння обраховує майбутнє значення (FV) для поточного інвестованого значення (PV), яке наростало зі сталою відсотковою ставкою (i) за n періодів.

Складений[ред.ред. код]

Формула для обчислення річного складного відсотку така:

A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

Де,

  • A = вихід
  • P = початковий внесок
  • r = річна номінальна процентна ставка (як дріб, не відсоток)
  • n = кількість разів складання відсотку за рік
  • t = кількість років

Приклад використання: Сума 1500.00 вкладена в банк, річна відсоткова ставка якого становить 4.3%, і складається щоквартально. Знайти баланс через 6 років.

A. Із використанням попередньої формули, з P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4 і t = 6:

A=1500\left(1 + \frac{0.043}{4}\right)^{4 \times 6} =1938.84

Отже баланс по проходженні 6 років становитиме близько 1,938.84.

Періодичне складання[ред.ред. код]

Підсумкова функція для складного відсотку — це степенева функція в термінах часу.

A(t) = A_0 \left(1 + \frac {r} {n}\right) ^ {\lfloor nt \rfloor}

  •  t = Кількість років
  •  n = Кількість періодів на рік (отже загальна кількість періодів  n \cdot t )
  •  r = Річна номінальна процентна ставка виражена як десяткове, наприклад: 6% = 0.06
  •  \lfloor nt \rfloor значить що nt округляється вниз до найближчого цілого.

При збільшенні n, відсоток досягає верхньої межі er − 1. Такий відсоток називається безперервним нарахуванням.

Через те, що початковий внесок A(0) є просто коефіцієнтом, його часто опускають для спрощення, і натомість використовують такі функції накопичення для простого і складного відсотку:

a(t)=1+t r\,
a(t) = \left(1 + \frac {r} {n}\right) ^ {nt}

Зауважте: A(t) — це підсумкова функція і a(t) — це функція накопичення.

Безперервне нарахування[ред.ред. код]

Про безперервне нарахування можна думати як про періодичне складання із нескінченно малим періодом; отже формула отримується взяттям границі n до нескінченності[1].

A(t)=A_0 e ^ {rt}

або

A=P e ^ {rt}

Інтенсивність відсотка[ред.ред. код]

В математиці, функцію накопичення часто виражають із використанням e, бази натурального логарифму.

Для будь-якої неперервно диференційовної функції накопичення a(t) інтенсивність відсотка(англ. force of interest), або загальніше логарифмічний чи безперервно нараховуваний прибуток це така функція від часу:

\delta_{t}=\frac{a'(t)}{a(t)}\,

що є швидкістю зміни натурального логарифму від функції накопичення.

З іншого боку можна записати:

a(n)=e^{\int_0^n \delta_t\, dt}\ , (бо a(0) = 1)

Посилання[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+x/n)^n