Формула Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Геометрична інтерпретація формули Ейлера

Формула Ейлера — співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа x виконується рівність:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x,

де eоснова натурального логарифма,

iуявна одиниця.

Формула залишається вірною також для комплексного аргументу x.

Відома тотожність Ейлера, що пов'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

e^{i\pi}+1=0

є частковим випадком формули Ейлера при x=\pi.

Історія[ред.ред. код]

Формула Ейлера вперше була доведена Роджером Котсом у 1714 році в логарифмічній формі:

~\ln(\cos x+i\sin x)=ix.

Ейлер опублікував формулу у її звичному вигляді в 1748 році, збудував доведення за допомогою розкладу правої та лівої частини у степеневі ряди. Ані Ейлер, ані Котс не уявляли собі геометричної інтерпретації формули: представлення комплексних чисел як точок на комплексній площині з'явилося приблизно на 50 років пізніше.

Похідні формули[ред.ред. код]

За допомогою формули Ейлера можна представити функції sin та cos у вигляді:

\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Можна ввести поняття тригонометричних функцій комплексної змінної, які добре відомі під назвою гіперболічні функції. Підставляючи x=iy, отримуємо:

\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y,
\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y.

Застосування в комплексному аналізі[ред.ред. код]

Завдяки формулі Ейлера з'явились так звані тригонометрична та показникова форма запису комплексного числа: x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}.

Наступним важливим наслідком є формули піднесення комплексного числа до довільної степені:

x=|x|e^{i\varphi}, x^n=|x|^ne^{ni\varphi}.

Остання формула має просту геометричну інтерпретацію: при піднесенні числа x до степені n його відстань від початку системи координат підноситься до степені n, а кут повороту від осі OX збільшується в n раз.

Формула вірна не лише для цілих n, але й для дійсних його значень. Зокрема, комплексна форма запису числа дозволяє знаходити корені довільної степені з комплексних чисел, що використовується в доведенні основної теореми алгебри: «Многочлен степені n має рівно n комплексних коренів».

Доведення[ред.ред. код]

Доведення формули Ейлера є достатньо простим. Розклавши функцію e^{ix} у ряд Тейлора за степенями x отримуємо:

e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)

Оскільки

1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x,
\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x,

то

~e^{ix}=\cos x + i\sin x

Q.E.D.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.