Формула Ейлера

Геометрична інтерпретація формули Ейлера

Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа $x$ виконується рівність:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

де $e$ — основа натурального логарифма,

$i$ — уявна одиниця.

Формула залишається вірною також для комплексного аргументу $x$.

Відома тотожність Ейлера, що пов'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

$e^{i\pi}+1=0$

є частковим випадком формули Ейлера при $x=\pi$.

Історія

Формула Ейлера вперше була доведена Роджером Котсом у 1714 році в логарифмічній формі:

$~\ln(\cos x+i\sin x)=ix$.

Ейлер опублікував формулу у її звичному вигляді в 1748 році, збудував доведення за допомогою розкладу правої та лівої частини у степеневі ряди. Ані Ейлер, ані Котс не уявляли собі геометричної інтерпретації формули: представлення комплексних чисел як точок на комплексній площині з'явилося приблизно на 50 років пізніше.

Похідні формули

За допомогою формули Ейлера можна представити функції sin та cos у вигляді:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Можна ввести поняття тригонометричних функцій комплексної змінної, які добре відомі під назвою гіперболічні функції. Підставляючи $x=iy$, отримуємо:

$\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y$,

$\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y$.

Застосування в комплексному аналізі

Завдяки формулі Ейлера з'явились так звані тригонометрична та показникова форма запису комплексного числа: $x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}$.

Наступним важливим наслідком є формули піднесення комплексного числа до довільної степені:

$x=|x|e^{i\varphi}$, $x^n=|x|^ne^{ni\varphi}$.

Остання формула має просту геометричну інтерпретацію: при піднесенні числа $x$ до степені $n$ його відстань від початку системи координат підноситься до степені $n$, а кут повороту від осі $OX$ збільшується в $n$ раз.

Формула вірна не лише для цілих $n$, але й для дійсних його значень. Зокрема, комплексна форма запису числа дозволяє знаходити корені довільної степені з комплексних чисел, що використовується в доведенні основної теореми алгебри: «Многочлен степені $n$ має рівно $n$ комплексних коренів».

Доведення

Доведення формули Ейлера є достатньо простим. Розклавши функцію $e^{ix}$ у ряд Тейлора за степенями $x$ отримуємо:

$e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)$

Оскільки

$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x$,

$\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x$,

то

$~e^{ix}=\cos x + i\sin x$

Q.E.D.

Див. також

• Комплексний аналіз
• Гіперболічні функції
• Формула Муавра
• Список об'єктів, названих на честь Леонарда Ейлера

Література

• John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.