Тотожність Ейлера

У математичному аналізі тотожність Ейлера, що названа на честь Леонарда Ейлера, це рівняння

$e^{i \pi} + 1 = 0$

,де

$e\,\!$ – це число Ейлера, основа натуральних логарифмів;

$i\,\!$ – це уявна одиниця, комплексне число, квадрат якого дорівнює $-1$;

$\pi\,\!$ – це число пі, відношення довжини кола круга до його діаметру.

Тотожність Ейлера також називають "рівнянням Ейлера".

Значення тотожності

Тотожність Ейлера є прекрасним зразком єдності математики. Як зауважив Елі Маор, вона поєднує три основні математичні операції, а саме додавання, множення, і піднесення до степеня і п'ять фундаментальних математичних констант, що належать до чотирьох класичних галузей математики:

• число 0 і число 1 (Арифметика);
• число $i$, уявну одиницю, комплексне число, що задовільняє $i^2=-1$ (Алгебра);
• число $\pi$ (Геометрія);
• число $e$, основа натуральних логарифмів (Аналіз).

Не дивно, що чимало хто знайшлов у тотожності Ейлера містичні значення усіх зразків. ("These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics: arithmetic, represented by 0 and 1; algebra, by i; geometry, by π; and analysis by e. No wonder that many people have found in Euler's formula all kinds of mystic meanings.")

Тотожність Ейлера викликала багато захоплених відгуків.

• За словами відомого суднобудівника та математика академіка Олексія Миколайовича Крилова, у цій тотожності загадковим чином поєдналися числа, що символізують арифметику (0 та 1), алгебру (i), аналіз (e) та геометрію (π).
• Карл Фрідріх Ґаусс говорив, що якщо ця формула не є відразу очевидна для студента, то він ніколи не перетвориться на першокласного математика.
• За опитуванням читачів журналу Physics World, що проходило у 2004 році, тотожність Ейлера (разом з рівняннями Максвелла) була названа «Найвеличнішим рівнянням історії»
• За думкою Констанс Рід, ця тотожність є "найзнаменитішою формулою всієї математики".

Після доведення тотожності Ейлера в лекції, Бенджамін Пірс, відомий математик XIX сторіччя і професор Гарвардського універсітета, сказав, "Це абсолютно парадоксально; ми не можемо зрозуміти це, і ми не знаємо, що це означає, але ми довели це, і тому знаємо, що це повинно бути істиною."

Доведення

Демонстрація формули Ейлера у комплексній площині

Тотожність Ейлера випливає із формули Ейлера, що має вид:

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

для будь-якого дійсного числа $x$. Зокрема, якщо

$x = \pi,\,\!$ то $e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!$

Оскільки

$\cos \pi = -1 \, \!$ та $\sin \pi = 0,\,\!$ отримуємо $e^{i \pi} = -1,\,\!$

що і доводить тотожність

$e^{i \pi} +1 = 0.\,\!$

Загальнішим чином, можна довести, що

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .$

Тотожність Ейлера відповідає $n=2.$

Посилання

• Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004.
• Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
• Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
• Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
• Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).