Спектр оператора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спектр оператора — множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці.

Нехай A - оператор, що діє в комплексному банаховому просторі E. Комплексне число λ має назву регулярного для оператора A, якщо оператор R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1}, що має назву резольвенти оператора A, визначений на всьому E і неперервний. Множина регулярних значень оператора A має назву резольвентної множини цього оператора, а доповнення резольвентної множини - спектром цього оператора. Спектр оператора є непорожнім компактом на комплексній площині \C.

В спектрі оператора можна виділяти частини, не однакові по своїх властивостях. Однією з основних класифікацій спектру є наступна:

  1. дискретним (точковим) спектром називається множина всіх власних значень оператора A;
  2. неперервним спектром називається множина значень \lambda, при яких резольвента (A - \lambda I)^{-1} визначена на всюду щільній множині в E, але не є безперервною;
  3. остаточним спектром називається множина точок спектру, що не входять ні до дискретної, ні до безперервної частин.

Максимум модулів точок спектру оператора A називається спектральным радіусом цього оператора і позначається через r(A) . При цьому виконується рівність r(A)= \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}.

Резольвента є голоморфною операторнозначною функцією на резольвентній множині. Зокрема, при \lambda>r(A) вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці z=0.