Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта

Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта — твердження у математиці, що описує структуру універсальних обгортуючих алгебр і є одним із фундаментальних результатів теорії алгебр Лі і їх представлень.

Твердження

Нехай $T({\mathfrak {g}}),U({\mathfrak {g}}),S({\mathfrak {g}})$ позначають відповідно тензорну алгебру, універсальну обгортуючу алгебру і симетричну алгебру для алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ над полем K. Для тензорної алгебри можна ввести фільтрацію

$T_{m}{\mathfrak {g}}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus T^{2}{\mathfrak {g}}\oplus \cdots \oplus T^{m}{\mathfrak {g}}$

де

$T^{m}{\mathfrak {g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\otimes \cdots \otimes {\mathfrak {g}}$

Для універсальної обгортуючої і симетричної алгебри теж при цьому отримуються фільтрації, якщо взяти відповідні факторизації зокрема $U_{m}({\mathfrak {g}})=\pi (T_{m})$ і $S_{m}({\mathfrak {g}})=p(T_{m}),$ де $\pi ,p$ — відповідні факторизації для універсальної обгортуючої і симетричної алгебр.

Тоді можна ввести нові простори:

$G_{m}({\mathfrak {g}})=U_{m}({\mathfrak {g}})/U_{m-1}({\mathfrak {g}})$

і

$G({\mathfrak {g}})=G_{0}({\mathfrak {g}})\oplus G_{1}({\mathfrak {g}})\oplus G_{2}({\mathfrak {g}})\ldots$

Позначаючи $\psi :U({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})$ відповідну факторизацію, отримуємо також відображення $\psi \circ \pi :T({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}}).$ Оскільки його образ для всіх елементів виду $a\otimes b-b\otimes a,\;\;a,b\in {\mathfrak {g}}$ є рівним нулю, це також є справедливим і для ідеалу породженого цими елементами. Відповідно відображення $\psi \circ \pi$ породжує відображення $\phi :S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}}).$

Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта: відображення $\phi$ є ізоморфізмом алгебр $S({\mathfrak {g}})$ і $G({\mathfrak {g}}).$

За допомогою базисних елементів

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Лі над полем $K$, $x_{\alpha }$— її цілком впорядкований базис як векторного простору, тобто індекси $\alpha \in I$, де множина $I$ є цілком впорядкованою. Якщо $i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ — відображення ${\mathfrak {g}}$ у її обгортуючу алгебру, то елементи $1$ і $i(x_{\alpha _{1}})\cdot \ldots \cdot i(x_{\alpha _{s}})(s\geqslant 1,\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{s})$ утворюють базис векторного простору $U$. Зокрема відображення $i$ є ін'єктивним.

Доведення

Нехай $x_{\alpha },\;\alpha \in I$ — упорядкований базис ${\mathfrak {g}}.$ Тоді симетричну алгебру $S({\mathfrak {g}})$ можна ототожнити з алгеброю многочленів від змінних $x_{\alpha },\;\alpha \in I.$ Для кожної послідовності індексів $\Sigma =(\alpha _{1},...,\alpha _{m})$ можна ввести елементи $z_{\Sigma }=z_{\alpha _{1}},...,z_{\alpha _{m}}\in S({\mathfrak {g}})$ і $x_{\Sigma }=x_{\alpha _{1}}\otimes ...\otimes x_{\alpha _{m}}\in T({\mathfrak {g}}).$ Послідовність $\Sigma$ називається зростаючою, якщо $\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{m}.$ Порожня послідовність теж вважається зростаючою і $z_{\emptyset }=1.$ Тоді множина $z_{\Sigma }$ для усіх зростаючих послідовностей $\Sigma$ є базисом в $S({\mathfrak {g}}).$

$\alpha \leqslant \Sigma$ позначає, що $\alpha \leqslant \mu$ для всіх $\mu \in \Sigma .$ Позначимо $J$ — ідеал у $T({\mathfrak {g}})$ породжений елементами $a\otimes b-b\otimes a,\;\;a,b\in {\mathfrak {g}}$ (тобто $S({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/J$).

Лема 1

Для кожного $m\in Z^{+}$ існує єдине таке лінійне відображення $f_{m}:{\mathfrak {g}}\otimes S_{m}\to S({\mathfrak {g}}),$ що:

• $(A_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })=z_{\alpha }z_{\Sigma }$ для $\alpha \leqslant \Sigma ,\;z_{\Sigma }\in S_{m};$
• $(B_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })-z_{\alpha }z_{\Sigma }\in S_{k}$ для $k\leqslant m,\;z_{\Sigma }\in S_{k};$
• $(C_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes f_{m}(x_{\mu }\otimes z_{T}))=f_{m}(x_{\mu }\otimes f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{T}))+f_{m}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T})$ для всіх $z_{T}\in S_{m-1}.$

При цьому обмеження відображення $f_{m}$ на ${\mathfrak {g}}\otimes S_{m-1}$ узгоджується з $f_{m-1}.$

Доведення

Обмеження відображення $f_{m}$ на ${\mathfrak {g}}\otimes S_{m-1}$ автоматично задовольняє умови $(A_{m}),(B_{m}),(C_{m})$ і при виконанні єдиності має збігатися з $f_{m-1}.$

Існування і єдиність відображення $f_{m}$ доводиться індукцією по m. При m = 0 маємо $z_{\Sigma }=1$; тому можна встановити $f_{0}(x_{\alpha }\otimes 1)=z_{\alpha }$ (і продовжити лінійно на ${\mathfrak {g}}\otimes S_{0}.$ Умови $(A_{0}),(B_{0}),(C_{0})$ виконуються, і з $(A_{0})$ зрозуміло, що вказане відображення $f_{0}$ є єдиним можливим.

Припустивши існування єдиного відображення $f_{m-1},$ що задовольняє необхідні умови продовжимо $f_{m-1}$ до $f_{m}.$ Для цього досить визначити $f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })$ для зростаючих послідовностей $\Sigma$ довжини m. У випадку $\alpha \leqslant \Sigma$ умова $(A_{m})$ буде виконуватися, лише якщо задати $f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })=z_{\alpha }z_{\Sigma }.$ Якщо вказана нерівність не виконується, то перший індекс $\mu$ у послідовності $\Sigma$ є строго меншим ніж $\alpha ,$ тому $\Sigma =(\mu ,T),$ де $\mu \leqslant T$ і Т має довжину m-1. З умови $(A_{m-1})$ одержуємо $z_{\Sigma }=z_{\mu }z_{T}=f_{m-1}(x_{\mu }\otimes z_{T}).$ Оскільки $\mu \leqslant T,$ то $f_{m}(x_{\mu }\otimes z_{T})=z_{\mu }z_{T},$ так що ліва частина співвідношення $(C_{m})$ набуває виду $f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma }).$ З іншого боку, з $(B_{m-1})$ випливає, що $f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{T})=f_{m-1}(x_{\alpha }\otimes z_{T})\equiv z_{\alpha }z_{T}\mod S_{m-1}.$ Це означає, що права частина співвідношення $(C_{m})$ вже визначена:

$z_{\mu }z_{\alpha }z_{T}+f_{m-1}(x_{\mu }\otimes y)+f_{m-1}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T}),\;\;y\in S_{m-1}.$

Попередні зауваження показують, що відображення $f_{m}$ можна визначити в єдиний спосіб. При цьому умови $(A_{m})$ і $(B_{m})$ очевидно виконуються, як і $(C_{m})$ при $\mu <\alpha ,\;\mu \leqslant T.$ Але $[x_{\mu },x_{\alpha }]=-[x_{\alpha },x_{\mu }],$ тож умова $(C_{m})$ виконується і при $\alpha <\mu ,\;\alpha \leqslant T.$ Воно виконується і при $\alpha =\mu .$

Залишається розглянути випадок, коли умови $\alpha \leqslant T$ і $\mu \leqslant T$ не виконуються. Запишемо $T=(\nu ,\Psi ),$ де $\nu \leqslant \Psi ,\;\nu <\alpha ,\nu <\mu .$ Для зручності позначень нехай xz позначає $f_{m}(x\otimes z).$ З припущення індукції випливає, що $x_{\mu }z_{T}=x_{\mu }(x_{\nu }z_{\Psi })=x_{\nu }(x_{\mu }z_{\Psi })+[x_{\mu },x_{\nu }]z_{\Psi },$ і при цьому $x_{\mu }z_{\Psi }=z_{\mu }z_{\Psi }+w\;(w\in S_{m-2})$ з огляду на умови $(B_{m-2}).$ Оскільки $\nu \leqslant \Psi ,\;\nu <\mu ,$ то $(C_{m})$ можна застосувати до $x_{\alpha }(x_{\nu }(z_{\mu }z_{\Psi })).$ За припущенням індукції можна також застосувати $(C_{m})$ до $x_{\alpha }(x_{\nu }w),$ а тоді і до $x_{\alpha }(x_{n}u(x_{\mu }z_{\Psi })).$ В результаті:

$x_{\alpha }(x_{m}uT)=x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }z_{\Psi }))+[x_{\alpha },x_{\nu }](x_{\mu }z_{\Psi })+[x_{\mu },x_{\nu }](x_{\alpha }z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }.$

В усіх цих міркуваннях $\alpha$ і $\mu$ можна поміняти місцями. Якщо переставити їх у останнє рівняння і відняти отримане рівняння з вихідного, то ми отримаємо (за допомогою тотожності Якобі):

${\begin{aligned}x_{\alpha }(x_{m}z_{T})-x_{\mu }(x_{\alpha }z_{T})=&x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }z_{\Psi }))-x_{\nu }(x_{\mu }(x_{\alpha }z_{\Psi }))+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }-[x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]z_{\Psi }=\\&x_{\nu }([x_{\alpha },x_{\mu }]z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]]z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](x_{\nu }z_{\Psi })+([x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]])z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](z_{T})\end{aligned}}$

Цим доведено співвідношення $(C_{m}),$ а відтак і всю лему.

Лема 2

Існує представлення $\rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(S({\mathfrak {g}})),$ що задовольняє умови

• $\rho (x_{\alpha })z_{\Sigma }=z_{\alpha }z_{\Sigma },\;\alpha \leqslant \Sigma ;$
• $\rho (x_{\alpha })z_{\Sigma }\equiv z_{\alpha }z_{\Sigma }\mod S_{m},$ для послідовності $\Sigma$ довжини m.

Доведення

Згідно попередньої леми існує лінійне відображення $f:{\mathfrak {g}}\otimes S({\mathfrak {g}})\to S({\mathfrak {g}}),$ що задовольняє умовам $(A_{m}),(B_{m}),(C_{m})$ при всіх m. Іншими словами, $S({\mathfrak {g}})$ перетворюється в ${\mathfrak {g}}$-модуль (згідно умови $(C_{m})$), який зважаючи на умови $(A_{m}),(B_{m})$ задовольняє властивості леми.

Лема 3

Нехай $t\in T_{m}\cap \operatorname {Ker} \pi .$ Тоді однорідна компонента $t_{m}$ степеня $m$ в $t$ належить ідеалу J.

Доведення

Запишемо $t_{m}$ як лінійну комбінацію базисних елементів $x_{\Sigma (i)},\;(1\leqslant i\leqslant r)$ де кожна послідовність $\Sigma (i)$ має довжину m. Гомоморфізм алгебр Лі $\rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(S({\mathfrak {g}})),$ побудований в попередній лемі зважаючи на універсальну властивість алгебри $U({\mathfrak {g}})$ продовжується до гомоморфізму алгебр $\rho :T({\mathfrak {g}})\to \operatorname {End} (S({\mathfrak {g}})),$ для якого $\operatorname {Ker} \pi \subset \operatorname {Ker} \rho .$ Тому $\rho (t)=0.$ Але одиниця під дією гомоморфізму $\rho (t)$ відображається в многочлен, старший член якого з огляду на попередню лему є лінійною комбінацією елементів $x_{\Sigma (i)},\;(1\leqslant i\leqslant r).$ Тому ця лінійна комбінація дорівнює 0 в $S({\mathfrak {g}})$ і $t_{m}\in J,$ що і треба було довести.

Доведення теореми ПБВ

Відображення $\pi$ є сюр'єктивним і $\pi (T_{m}\setminus T_{m-1})=U_{m}\setminus U_{m-1}.$Звідси випливає, що і відображення $\psi \circ \pi :T({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})$і також $\phi :S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})$є сюр'єктивними.

Доведемо тепер ін'єктивність. Нехай $t\in T^{m}.$ Потрібно довести, що з умови $\pi (t)\in U_{m-1}$ випливає, що $t\in \operatorname {Ker} \pi .$ Але якщо $t\in T^{m},\pi (t)\in U_{m-1},$ то $\pi (t)=\pi (t')$ для деякого $t'\in T_{m-1}$; отже, $t-t'\in \operatorname {Ker} \pi .$ Застосуємо попередню лему до тензора $t-t'\in T_{m}\cap \operatorname {Ker} \pi :$ однорідна компонента степені m є рівною $t$ і тому $t\in J.$

Див. також

• Симетрична алгебра
• Універсальна обгортуюча алгебра

Література

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85138-6
• Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN 978-0-486-46282-0, MR 0332905