Універсальна обгортуюча алгебра

Універсальна обгортуюча алгебра — асоціативна алгебра, яка може бути побудована для будь-якої алгебри Лі, переймає багато важливих властивостей вихідної алгебри, що дозволяє застосувати більш широкі засоби для вивчення вихідної алгебри.

Асоціативна алгебра $A$ над полем $K$ має природну структуру алгебри Лі над $K$ з дужкою Лі: $[a,b]=ab-ba$, тобто, з асоціативного добутку можна одержати дужку Лі за допомогою простого взяття комутатора. Ця алгебру Лі позначається $A_{L}$. Побудова універсальної обгортуючої алгебри намагається обернути цей процес: для даної алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ над $K$ знаходять «найбільш загальну» асоціативну $K$-алгебру $U({\mathfrak {g}})$ таку, що алгебра Лі $U_{L}$ містить ${\mathfrak {g}}$.

Мотивація

Важливим розділом у вивченні алгебри Лі є представлення алгебри Лі. Представлення $\rho$ зіставляє кожному елементу x алгебри Лі лінійний оператор $\rho (x)$. Для даних лінійних операторів можна розглядати не тільки дужки Лі але також і добутки $\rho (x)\rho (y)$. Суть введення універсальної обгортуючої алгебри у вивченні таких добутків для різних представленнях алгебри Лі. Відразу бачиться одна перешкода в наївній спробі зробити це: властивості добутків докорінно залежать від обраного представлення, а не тільки від самої алгебри Лі. Наприклад, для одного представлення можна отримати $\rho (x)\rho (y)=0$, тоді як для іншого цей добуток може бути ненульовим. Проте певні властивості є універсальними для всіх представлень, тобто справедливими для всіх представлень одночасно. Універсальна обгортуюча алгебра — спосіб охопити всі такі властивості і тільки їх.

Пряма побудова

Побудова універсальної обгортуючої алгебри починається із тензорної алгебри $T({\mathfrak {g}})$ на векторному просторі алгебри ${\mathfrak {g}}$

$T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots$

Універсальна обгортуюча алгебра $U({\mathfrak {g}})$ одержується як фактор-простір $T({\mathfrak {g}})$ за співвідношеннями:

$a\otimes b-b\otimes a=[a,b]$

для всіх $a$ і $b$ в ${\mathfrak {g}}$, де дужки в правій частині виразу позначають комутатор в ${\mathfrak {g}}$.

Формально:

$U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I$

де $I$ — двосторонній ідеал $T({\mathfrak {g}})$, породжений елементами виду

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b],\quad a,b\in {\mathfrak {g}}.$

Природне відображення ${\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})$ зводиться до відображення $h\colon {\mathfrak {g}}\to U_{L}$.

Універсальна властивість

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — довільна алгебра Лі над полем $K$. Алгебри $U$ задовольняє універсальній властивості: для будь-якої асоціативної алгебри $A$ з одиницею і гомоморфізму алгебр Лі

$f\colon {\mathfrak {g}}\to A_{L}$

існує єдиний гомоморфізм асоціативних алгебр з одиницею

$g\colon U\to A$

такий, що

$f=gh.$

Цю універсальну властивість також можна розуміти так: функтор, що відображає ${\mathfrak {g}}$ в її універсальну обгортуючу алгебру є спряженим зліва до функтора, що відображає асоціативну алгебру $A$ у відповідну алгебру Лі $A_{L}$.

З універсальної властивості можна довести, що якщо алгебра Лі має універсальну обгортуючу алгебру, то ця обгортуюча алгебра єдиним чином визначається алгеброю ${\mathfrak {g}}$ (з точністю до ізоморфізму).

Приклади

• Якщо ${\mathfrak {g}}$ є абелевою (тобто, комутатор завжди рівний 0), то $U({\mathfrak {g}})$ є коммутативною; якщо обраний базис векторного простору ${\mathfrak {g}}$, то $U({\mathfrak {g}})$ може розглядатися як алгебра многочленів над $K$, з однією змінною для кожного базисного елемента.

• Якщо ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Лі групи Лі $G$, $U({\mathfrak {g}})$ може розглядатися як алгебра лівоінваріантних диференціальних операторів (всіх порядків) на $G$, що містить ${\mathfrak {g}}$ як диференціальних операторів першого порядку (які знаходяться під взаємній відповідності з лівоінваріантними векторними полями на $G$).

• Центр алгебри $U({\mathfrak {g}})$ позначається через $Z({\mathfrak {g}})$ і складається з диференціальних операторів, які є інваріантними як щодо лівої дії групи, так і щодо правої; в разі некомутативності $G$ центр часто вже не породжується операторами першого порядку (наприклад, оператор Казиміра ніпівпростої алгебри Лі).

• Також $U({\mathfrak {g}})$ можна охарактеризувати як алгебру узагальнених функцій з носієм на одиничному елементі $e$ групи $G$ з операцією згортки.

• Алгебра Вейля диференціальних операторів від $n$ змінних з поліноміальними коефіцієнтами може бути отримана, починаючи з алгебри Лі групи Гейзенберга. Для цього необхідно профакторизувати її так, щоб центральні елементи даної алгебри Лі діяли як скаляри.

Властивості

• Фундаментальна теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта дає точний опис $U({\mathfrak {g}})$; найбільш важливий наслідок з неї - це те, що ${\mathfrak {g}}$ може розглядатися як лінійний підпростір $U({\mathfrak {g}})$. Більш точно: канонічне відображення $h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ завжди є ін'єктивним. Окрім того, $U({\mathfrak {g}})$ породжується ${\mathfrak {g}}$ як асоціативна алгебра з одиницею.

• ${\mathfrak {g}}$ діє на собі за допомогою приєднаного представлення алгебри Лі, і ця дія може бути розширено на представлення ${\mathfrak {g}}$ в ендоморфізми $U({\mathfrak {g}})$: ${\mathfrak {g}}$ діє як алгебра похідних на $T({\mathfrak {g}})$, і ця дія зберігає накладені співвідношення, тому вона фактично діє на $U({\mathfrak {g}})$.

• При такому представленні, елементи $U({\mathfrak {g}})$, що є інваріантними при дії ${\mathfrak {g}}$ (тобто дія на них будь-якого елемента ${\mathfrak {g}}$ є тривіальною), називаються інваріантними елементами. Вони породжуються інваріантами Казимира.

• Конструкція універсальної обгортуючої алгебри є частиною пари спряжених функторів. $U$ — функтор з категорії алгебр Лі над $K$ у категорію асоціативних $K$-алгебр з одиницею. Цей функтор є спряженим зліва до функтора, що відображає алгебру $A$ в алгебру $A_{L}$. Проте конструкція універсальної обгортуючої алгебри не є точно оберненою до формування $A_{L}$: якщо почати з асоціативної алгебри $A$, то $U(A_{L})$ не є рівною $A$, а є значно більшою.

• Абелева категорія всіх представлень ${\mathfrak {g}}$ є ізоморфною абелевій категорії всіх лівих модулів над $U({\mathfrak {g}})$.

• Побудова групової алгебри деякої групи багато в чому є аналогічною побудові універсальної обгортуючої алгебри для заданої алгебри Лі. Обидві побудови є універсальними і переносять теорію представлень в теорію модулів. Більш того, як групові алгебри, так і універсальні обгортуючі алгебри мають природну структуру комноження, які перетворюють їх в алгебру Хопфа.

Див. також

• Представлення алгебри Лі

Література

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740
• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
• Musson, Ian M. (2012), Lie Superalgebras and Enveloping Algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 131, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-6867-5, Zbl 1255.17001