Теорема про вирізання

В алгебричній топології, галузі математики, теорема про вирізання є теоремою про відносну сингулярну гомологію, що є одним із базових результатів всієї теорії гомології. Зокрема твердження є однією з аксіом Ейленберга — Стінрода.

Для топологічного простору $X$ і підпросторів $A$ і $U$ таких, що $U$ також є підпростором $A,$ теорема стверджує, що за певних обставин можна видалити $U$ з обох просторів так, що відносні гомології пар $(X\setminus U,A\setminus U)$ і $(X,A)$ є ізоморфними.

Це допомагає в обчисленні сингулярних груп гомологій, оскільки іноді після вилучення відповідного обраного підпростору одержуються простори для яких обчислення гомологій є простішим.

Твердження

Якщо $U\subseteq A\subseteq X$ то кажуть, що $U$ можна вирізати, якщо відображення включення пари $(X\setminus U,A\setminus U)$ у пару $(X,A)$ породжує ізоморфізм відносних гомологій:

$H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)$

Теорема стверджує, що якщо замикання $U$ міститься у внутрішності $A,$ то $U$ можна вирізати.

Доведення

Спершу доведемо, що кожен елемент $H_{*}(X,A)$ є лінійною комбінацією сингулярних симплексів образи яких належать внутрішності $A$ або $X\setminus U.$

Для цього для довільного топологічного простору $X$ можна ввести для кожного n гомоморфізм $\psi :S_{n}(X)\to S_{n}(X),$ що для сингулярного симплекса $\lambda$ задається як:

$\psi (\lambda )=\lambda \circ \varphi ,$

де $\varphi$ позначає гомоморфізм, що переводить стандартний n-симплекс (який можна розглядати як елемент симпліційного ланцюгового комплексу) у суму n-симплексів одержаних барицентричним розбиттям стандартного симплекса із врахуванням їх орієнтації.

Гомоморфізм $\psi$ є ланцюговим відображенням. Справді:

$\partial \psi (\lambda )=\lambda \varphi \partial =\sum (-1)^{r}\lambda \varphi F^{r}=\sum (-1)^{r}(\lambda F^{r})\varphi =\psi \partial (\lambda ).$

У цих рівностях $F^{r}$ позначає вкладення r-ї грані у стандартний симплекс.

Також $\psi$ є ланцюгово гомотопним до тотожного відображення. Цей факт достатньо довести для довільного сингулярного симплекса $\lambda .$ Нехай $\lambda (\Delta _{n})\to X$ є сингулярним n-симплексом, де $\Delta _{n}$ позначає стандартний симплекс. Потрібно знайти гомоморфізм $T:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)$ заданий для всіх n, для якого $\partial T+T\partial =\psi -1.$ Для задання такого гомоморфізму зручно розглянути ланцюговий комплекс $C_{*}(\Delta _{n})$ елементами якого є афінні відображення із стандартних симплексів $\Delta _{k}$ у стандартний симплекс $\Delta _{n}$ з очевидним граничним відображенням. Тоді відображення $\lambda$ породжує ланцюгове відображення $\lambda _{*}:C_{*}(\Delta _{n})\to S_{*}(X).$ Тому, якщо на $C_{*}(\Delta _{n})$ можна задати ланцюгову гомотопію $T'$ між гомоморфізмом поділу $\varphi$ і тотожним гомоморфізмом (тобто $\partial T'+T'\partial =\varphi -1$ на множині афінних сингулярних симплексів), тоді для тотожного відображення $1_{\Delta _{n}}$ можна ввести $T(\lambda )=\lambda _{*}(T'(1_{\Delta _{n}})).$ Застосувавши відображення $\lambda _{*}$ до рівності $\partial T'+T'\partial =\varphi -1$ звідси одержується необхідна рівність $\partial T(\lambda )+T\partial \lambda =\psi (\lambda )-\lambda .$

Для задання відображення $T'$ спершу можна зауважити, що всі афінні сингулярні симплекси на $\Delta _{n}$ однозначно визначаються образами вершин відповідних стандартних симплексів. Якщо $\mu :\Delta _{k}\to \Delta _{n}$ є афінним сингулярним симплексом у $\Delta _{n}$ і a є довільною точкою $\Delta _{n}$ позначимо $a\mu :\Delta _{k+1}\to \Delta _{n}$ афінний сингулярний симплекс при якому образом першої вершини $\Delta _{k+1}$ є a, а образами наступних вершин є відповідні образи вершин $\Delta _{k}$ при відображенні $\mu .$ Цю конструкцію можна продовжити і на формальні суми афінних сингулярних симплексів. Нехай також b позначає барицентр симплекса $\Delta _{n}.$

З цими позначеннями $T'$ задається індуктивно по $m$ у $C_{m}(\Delta _{n}).$ Для $m=0$ за означенням $T':C_{0}(\Delta _{n})\to C_{0}(\Delta _{n})$ є нульовим гомоморфізмом. Якщо $T'$ є задано на всіх $C_{k}(\Delta _{n})$ для k < m і $\mu \in C_{m}(\Delta _{n}),$ то за означенням:

$T'(\mu )=b(\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu )).$

Тоді

$\partial T'(\mu )=(\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu ))-b\partial (\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu )).$

Але (із врахуванням індукції):

$\partial (\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu ))=\left[\partial \varphi -\partial -(\varphi -1-T'\partial )\partial \right]\mu =0$

оскільки $\varphi \partial =\partial \varphi$ і $\partial \partial =0.$ Тому остаточно:

$\partial T'(\mu )=\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu ),$

тобто $T'$ і як наслідок $T$ є ланцюговими гомотопіями.

Далі $\psi$ можна продовжити до ланцюгового відображення $\psi :S_{n}(X,A)\to S_{n}(X,A),$ що є ланцюгово гомотопною до тотожного відображення. Також відображення $\psi$ можна застосовувати повторно.

Оскільки за умовами теореми внутрішності $A$ і $X\setminus U$ утворюють відкрите покриття простору $X,$ то для довільного сингулярного симплекса $\lambda$ прообрази цих множин при відображенні $\lambda$ утворюють відкрите покриття стандартного симплекса. Оскільки при барицентричному розбитті діаметр одержаних симплексів строго зменшується, то згідно леми Лебега для деякого r при застосуванні процесу барицентричного розбиття r разів усі одержані симплекси належать якомусь із двох елементів відкритого покриття стандартного симплекса. Тоді $\psi ^{r}(\lambda )$ є лінійною комбінацією сингулярних n-симплексів образ кожного із яких належать внутрішності $A$ або $X\setminus U.$ Також очевидно для скінченної кількості сингулярних симплексів $\lambda$ можна підібрати r єдине для всіх симплексів.

Нехай тепер $x\in H_{n}(X,A)$ і $z\in Z_{n}(X,A)$ є представником цього елемента. Оскільки $\psi$ є ланцюгово гомотопним до тотожного відображення, то для кожного r елементи $z$ і $\psi ^{r}(z)$ відрізняються на граничний елемент і всі $\psi ^{r}(z)$ теж є представниками $x.$ Із попереднього, для достатньо великого r елемент $\psi ^{r}(z)$ є лінійною комбінацією сингулярних симплексів образи яких належать або $A$ або $X\setminus U$ (навіть їх внутрішностям). Але тоді $\psi ^{r}(z)\in Z_{n}(X\setminus U,A\setminus U).$ Це доводить, що $i_{*}:H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\to H_{n}(X,A)$ є сюр'єкцією.

З іншого боку нехай $z\in Z_{n}(X\setminus U,A\setminus U)$ і $i_{*}(z)\in B(X,A).$ Тоді z як сума сингулярних симплексів у $X$ є рівною $\partial x+y,$ де $x\in S_{n+1}(X),\ y\in S_{n}(A).$ Нехай для r елемент $\psi ^{r}(x)$ є лінійною комбінацією сингулярних сиплексів образи яких є у $A$ або $X\setminus U,$ тобто $\psi ^{r}(x)=a+b,$ де $a\in S_{n+1}(A),\ b\in S_{n+1}(X\setminus U).$

Тому $\psi ^{r}(z)=\psi ^{r}(\partial x)+\psi ^{r}(y)$ і $\psi ^{r}(z)-\partial b=\partial a+\psi ^{r}(y).$

Але $\psi ^{r}(z)-\partial b\in S_{n}(X\setminus U)$ і $\partial a+\psi ^{r}(y)\in S_{n}(A)$ тому ці елементи належать $S_{n}(A\setminus U).$ Як наслідок $\psi ^{r}(z)=\partial b+(\partial a+\psi ^{r}(y))$ належить $B_{n}(X\setminus U,A\setminus U)$ і тому $\psi ^{r}(z)$ і тому z є представником нульового елемента у $H_{n}(X\setminus U,A\setminus U).$ Тому $i_{*}:H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\to H_{n}(X,A)$ є ін'єктивним відображенням.

Див. також

• Ланцюгова гомотопія
• Лема Лебега
• Сингулярні гомології

Література

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, архів оригіналу за 20 лютого 2012, процитовано 17 липня 2020.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• Vick, James W. (1994), Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, т. 145, Springer, ISBN 9780387941264, архів оригіналу за 10 серпня 2020, процитовано 17 липня 2020