Сингулярні гомології

Сингулярні гомології — гомології, що визначаються виходячи з сингулярних симплексів топологічного простору X таким же чином, як звичайні (симпліціальні) гомології (і когомології) поліедра — виходячи з лінійного симплексу.

У категорії поліедрів сингулярна теорія еквівалентна симпліціальній (а також клітинній). Цим звичайно встановлюється топологічна інваріантність останніх. Проте значення груп сингулярних гомологій цим не вичерпується. Маючи простий опис, вони застосовні у достатньо широких категоріях гомотопно інваріантних топологічних просторів. Природні зв'язки з теорією гомотопій роблять сингулярну теорію незамінною в гомотопній топології.

Проте, хоча групи сингулярних гомологій визначені для будь-яких топологічних просторів без яких-небудь обмежень їх застосування виправдане лише при істотних обмеженнях типу локальної стягуваності або гомологічної локальної зв'язності. Сингулярні ланцюги, будучи за своєю природою «дуже» лінійно зв'язними, не несуть в собі інформацію про «неперервні» цикли, якщо вони не є «достатньо» лінійно зв'язними. Тому в загальних категоріях топологічних просторів замість сингулярних звичайно використовуються когомології Александрова — Чеха і асоційовані з ними гомології.

Визначення

Під сингулярним симплексом $\sigma_n$ розуміється неперервне відображення n-вимірного стандартного симплекса $\sigma_n:\Delta^n\to X$ причому образ $\sigma_n$ звичайно називається носієм $\sigma_n$ і позначається $| \sigma_n |$. Сингулярні ланцюги — формальні лінійні комбінації сингулярних симплексів з коефіцієнтами в абелевій групі G. Вони утворюють групу C_n(X, G). Групи ланцюгів об'єднуються в сингулярний ланцюговий комплекс $C_\bullet(X, G)$ з граничним гомоморфізмом $\partial_n:C_n\to C_{n-1}$, що визначається співвідношенням:

$\partial_n\sigma_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k [p_0,\cdots,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_n]$

де $\sigma_n = [p_0,p_1,\cdots,p_n]=\sigma_n([e_0,e_1,\cdots,e_n]).$

Ядро граничного оператора позначається $Z_n(X)=\ker (\partial_{n})$, і називається групою сингулярних n-циклів. Образ граничного оператора позначається $B_n(X)=\operatorname{im} (\partial_{n+1}),$ і називається групою сингулярних n-границь.

Також виконується рівність $\partial_n\circ \partial_{n+1}=0.$ n-на гомологічна група простору X визначається як факторгрупа:

$H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X).$

Сингулярні когомології

Сингулярні когомології визначаються двоїстим чином. Комплекс коланцюгів $C^\bullet(X, G)$ визначається як комплекс гомоморфізмів в G комплексу цілочислових сингулярних ланцюгів $C_\bullet(X, \Z)$. Менш формально, коланцюги — функції ξ, визначені на сингулярному симплексі, що приймають значення в G, а кограничний гомоморфізм d визначається формулою:

$(\partial_n \eta) \sigma_{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k \eta [p_0,\cdots,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_n]$

Сингулярні когомології $H^n(X, G)$ — це факторгрупи груп n-вимірних коциклів (ядер $\partial$) за підгрупами кограниць (образів $\partial$).

Гомології і когомології з коефіцієнтами в довільній групі G можуть бути виражені через цілочислові гомології за допомогою формул універсальних коефіцієнтів. Когомології з коефіцієнтами в групі G пов'язані з цілочисловими когомологіями формулами універсальних коефіцієнтів лише для скінченно породжених груп G.

Література

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — Москва: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — Москва: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — Москва: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — Москва: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. —Москва: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — Москва: Наука, 1989