Паралельні прямі

В евклідовій геометрії

Паралельними (рівнобіжними) прямими називають прямі, котрі лежать в одній площині і або збігаються, або не перетинаються. В деяких шкільних означеннях, щоправда, паралельні прямі не можуть збігатись, але тут цей факт не береться до уваги.

Властивості

1. Паралельність — Бінарне відношення еквівалентності, тому разбиває всю множину прямих на класи паралельних між собою.
2. Через довільну точку можна провести лише одну пряму, паралельную даній. Це властивість евклідової геометрії, в інших геометріях число 1 замінено іншими (в геометрії Лобачевского таких прямих минімум дві).
3. Дві паралельні прямі в просторі лежать в одній площині.
4. При перетині двох паралельних прямих третьою, т. зв. січною:
   1. Січна обов'язково перетинає обидві прямі.
   2. При перетині утворюється 8 кутів, при чому деякі характерні їх пари мають особливі назви та властивості:
      1. Перехресні кути рівні.
      2. Відповідні кути рівні.
      3. Односторонні кути в сумі становлять 180°.
      4. І, очевидно, суміжні кути в сумі становлять 180°, а вертикальні — рівні.

В геометрії Лобачевського

Параллельні прямі в моделі Пуанкаре: дві зелені прямі паралельні до синьої прямої, а фіолетова ультрапаралельна до неї

В геометрії Лобачевського в площині через точку $C$ що лежить поза даною прямою $AB$ проходить нескінчена кількість прямих, що не перетинають $AB$. З них паралельні до $AB$ називаються тільки дві. Пряма $CE$ називається рівнобіжною (паралельною) до прямої $AB$ в напрямку від $A$ до $B$, якщо:

1. точки $B$ і $E$ лежать по одну сторону від прямої $AC$;
2. пряма $CE$ не перетинає пряму $AB$, але всякий промінь, що проходить всередині кута $ACE$, перетинає промінь $AB$.

Аналогічно означається пряма, рівнобіжна до $AB$ в напрямку від $B$ до $A$.

Всі інші прямі, що не перетинають дану, називаються ультрапаралельними.