Шестикутне число

Шестикутне число  — це фігурне число. $n$-те шестикутне число $h_{n}$ — це кількість різних у шаблоні точок, що утворюють контур правильних шестикутників зі сторонами до $n$ точок, коли шестикутники перекриваються так, що вони мають одну спільну вершину.

$n$-е шестикутне число визначається за допомогою формули

$h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n\cdot (2n-1)}{2}}.\,\!$

Першими шестикутними числами (послідовність A000384 в OEIS) є

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, …

Кожне шестикутне число — це трикутне число, але лише кожне третє трикутне число (1-е, 3-е, 5-е, 7-е тощо) — це шестикутне число. Як і для трикутного числа, цифровий корінь в основі 10 шестикутного числа може бути лише 1, 3, 6 або 9. Набором цифрових коренів, що повторюється через кожні дев'ять членів, є ''1 6 6 1 9 3 1 3 9''.

Кожне парне досконале число є шестикутним і задається формулою

$M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=h_{\left({\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}\right)}=h_{2^{p-1}},$

де $M_{p}$ — число Мерсенна. Невідомі непарні досконалі числа, тому всі відомі досконалі числа є шестикутними.

Наприклад, 2-ге шестикутне число $2\cdot 3=6$; четверте — $4\cdot 7=28$; 16-е — $16\cdot 31=496$, а 64-е — $64\cdot 127=8128$.

Найбільшим числом, яке не можна записати як суму не більше чотирьох шестикутних чисел, є 130. Адрієн-Марі Лежандр довів у 1830 році, що будь-яке натуральне число, що перевищує 1791, може представлене таким чином.

Шестикутні числа не слід плутати з центрованими шестикутними числами, які моделюють стандартну упаковку віденських сосисок. Щоб уникнути неоднозначності, шестикутні числа іноді називають «кутовими шестикутними числами».

Тест на шестикутність числа

Можна ефективно перевірити, чи є натуральне число $x$ шестикутним числом, за допомогою формули

$n={\frac {{\sqrt {8x+2}}+1}{4}}.$

Якщо $n$ — натуральне число, то $x$ — $n$-е шестикутне число. Якщо $n$ не є натуральним числом, то $x$ не є шестикутним.

Інші властивості

Представлення у вигляді суми

$n$-е число шестикутної послідовності можна представити у вигляді суми як

$h_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}(4i+1),$

де порожня сума покладається рівною $0$.

Сума обернених шестикутних чисел

Сума обернених шестикутних чисел дорівнює $2\ln(2)$, де $\ln$ — натуральний логарифм,

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\longrightarrow \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\longrightarrow \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\longrightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\longrightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\longrightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\operatorname {d} x\\&=2\ln(1+x){\big |}_{0}^{1}=2\ln {2}\approx 1{,}386294\dots .\end{aligned}}$

Шестикутні квадратні числа

Послідовність чисел, які одночасно є шестикутними та повними квадратами, починається з $1$, $1225$, $1413721$, $\dots$ (див. послідовність A000384 в OEIS).

Див. також

• Центроване шестикутне число.
• Фігурні числа
• П'ятикутне число
• Трикутне число
• Натуральні числа

Посилання

• Weisstein, Eric W. Hexagonal Number [Архівовано 18 березня 2020 у Wayback Machine.] MathWorld.